等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n }的前 n 项和为 S n 2013），则 S 的值为（A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=，a 1= ，则 a 2017=（ ）A.B.C.D.3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295. 若数列{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（）A. 2B.C. -1D. 20186. 已知等差数列 { a n n 6 37 ）} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（A. 49B. 42C. 35D. 287. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2-10x+16=0 两根，则a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10B. 15C. 20D. 408. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（）A.2B.3C.4D.59.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么a n=______．3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n=______．5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N______ ．6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．三、解答题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n} 的前 n 项和为 S ，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】 ( 选择题解析在后面 )1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C 9. B 10. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. - 17. 18. 8119.解：（ 1）当 n=1，a1= ，当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，∴a n- a n-1 =0，即 a n= a n-1，数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，∴a n= ．（2）S n=1- a n=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+ +- =1- = ．20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2①．则： S n+1=2a n+1-2②，②-①得： a n+1=2a n，即：（常数），当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，解得： a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- -2，=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，，，，，a9=0，，即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．（2 分）故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1=4k（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则 a k是奇数，从而，可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，故当 n≤m 时， an＞0；当≥（ 15 分）n m+1 时， a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）-m-3=2m+1-m-5，故．（18分）1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，∴S2013=- ×671=-．故选 D．由数列 { a n 12} 满足 a =a=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．∴=2+2016=2018．则 a2017= ．故选： C．a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵2 2，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，∵{ a n} 是正项数列， a1=1，∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选 B．由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，a3= =-1a4==2a5= = ，a6= =-1．a7==2．故选： A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选： B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选： B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1 满足 a n，∴a n=2n-4，∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因为 n∈N，∴k=4，故选 C；先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差 d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选 B由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．则 S11=×=11 3=33．故选： D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由 S n=n2+n，得a1=S1=2，当 n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．当 n=1 时上式成立，∴a n=2n．故答案为： 2n．由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列{ a n} 为等比数列，∵a1=1，a2= ，∴q= ，∴a n= ，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．故答案分别为： -6；-110．对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列 { a n}中，由，可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1） =2n-1；由，可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，∴．故答案为： 2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得 a n-a1=1- = ，∵a1=-1，∴a n=- ，故答案为 - ．由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．可得 = +5（n-1），解得 a n═．故答案为：．判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列 { a n} 前 9 项的和：．故答案为： 81．根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。