等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。

(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。

特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。

【变式2] {an}为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。

【变式3]已知等比数列{a n}，若a1 a2 a3 7 , a^a s 8，求a n。

类型二：等比数列的前 n 项和公式例2.设等比数列｛an ｝的前n 项和为Sn ,若S3+S6=2S9求数列的公比类型三：等比数列的性质例3.等比数列｛a .｝中，若a s a 6 9,求Iog 3a 1 Iog 3 a ?…Iog 3昕. 举一反三：【变式1 ］正项等 比数列｛a n ｝中，若al • a100=100;则Iga1+lga2+ ....... +lga100= ____________ .【变式2］在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入3 2的三个数的乘积为 _________ 。

q.举一反三: 【变式求等比数列1,鳥丄的前6项和【变式2】已知：｛an ｝为等比数列，a1a2a3=27, S3=13, 求S5. 【变式3 ] 在等比数列｛a n ｝中，a 1 a n 66 , a 2 a n 1 128 , S n126，求 n 禾口 q 。

类型四：等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列｛a n｝中，已知S n 48 , S2n 60,求S an。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，....... ，第n 个k项和仍然成等比数列。

举一反三:【变式1 ］等比数列｛a n｝中，公比q=2, S4=1,则S8= ___________【变式2］已知等比数列｛a n｝的前n项和为Sn,且S10=10, S20=40, 求:S30=?【变式3］等比数列｛a n｝的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【变式 4 】等比数列{a n} 中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=__________________ .【变式5】等比数列{a n} 中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9 的值。

类型五：等差等比数列的综合应用例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32 ，则成等差数列. 若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列. 求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ;若三数成等比数列，可设此三数为 -，x,y xy。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。

举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n € N+),求出数列｛an｝的通项公式，并判断｛an｝是何种数列？思路点拨：由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断｛an｝类型.举一反三：【变式1】已知数列｛Cn｝，其中Cn=2 n+3r，且数列｛Cn+1-pC n｝为等比数列，求常数p。

【答案】p=2 或p=3；【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p, q，且p H q【变式3】判断正误：(1) ｛an｝为等比数列a7=a3a4；⑵若b2=ac,则a, b, c为等比数列;⑶｛an｝, ｛bn｝均为等比数列，贝U ｛anbn｝为等比数列；(4) ｛an｝是公比为q的等比数列，贝U ｛a2｝、丄仍为等比数列;a n(5) 若a, b, c 成等比，贝U logma, logmb, logmc 成等差.类型七：Sn与an的关系例7.已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足io& a2 5务6，且a1,a3, a15成等比数列，求数列｛an｝的通项an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是ai (n12)，尤其注意首项与其他各项的关系.a n(nSn 1举一反三：【变式】命题1:若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b(a工1)，则数列｛an｝是等比数列；命题2：若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n,则数列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。

上述两个命题中，真命题为个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a n ｝中，a 1 a 9 64, a 3 a 7 20,求 a 11 .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元方程组，解出a 1和q ，可得an ；或注意到下标1 求出a3、a7，再求a11 .解析:总结升华:算量;的，故较多变形要用除法(除式不为零)7，可以利用性质可 8法一：设此数列公比为q ，则 2646a i q20(1)⑵由 (2)得：aq 2 (1 q 4) 20..•...• (3)・ a 1 0.由(1)得：(ag 4)264 : 1 •. 4小 • a 1q 8 .. • (4)(3) 一⑷得：1 q 4: 220 5q82 42…2q 5q 2 0,解得 2q2 或 q 2 12当q 22时，a 1 2, an 10小,a 1 q64当q 21时，a 1 32,a 1110 da 1 q 1■法二：I a 1 a 9 a3 a764, 又 a 3 a 7 20,…a 3、 ・a 3 a 7为方程 16或4a 3 a 74 16・玄3 a 〔i2a 7,・・a 〔ia 2—1或 a 1164 .a 3①列方程(组)求解是等比数列的基本方法， 同时利用性质可以减少计②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目 2 x 20x 64 0的两实数根， a ? qa 3 a 7a 〔q举一反三:【变式1】｛an｝为等比数列，a1= 3, a9=768,求a6【答案】± 96法一：设公比为q,则768=a1q8, q8=256,：q=± 2,二a6=±96;法二：a52=a1a9 a5=±48 q=± 2,：a6=±9 6。

【变式2】｛an｝为等比数列，an >0，且a1a89=16,求a44a45a46的值。

【答案】64;2 . i /• 3^89 a45 16，又an> 0 ,• • a45=4- 3 -.…844845846 a45 64 o【答案】a n 2n 1或a n 22 .a〔a3 a2 ,・・a〔a? a3【变式3】已知等比数列｛a n｝，若a i a2 a3 7 , a£2a3 8，求a.。

从而a i&1&3 4 5,解之得a1 1 ,as4 或a1 4 ,a3 1当a1 1 时，q 2 ;当a1 4 时，q故a n2n1或a n 23n o法二: 由等比数列的定义知a2 a i q, a3代入已知得2a〔a〔q qq2 c a1 qq a〔q 82a1(1 q q ) 7, a；q38 日(1qqq2) 7,(1)⑵将a1 2代入（1）q得2q25q 21a 1 4由（2）得a 11或i ，以下同方法一。

q 2q 2类型二：等比数列的前 n 项和公式例2.设等比数列｛an ｝的前n 项和为Sn ,若S3+S6=2S9求数列的公比【答案】121或罟113盲q 3或q3，则 a1=1 或 a1=9q.解析：若 q=i ，则有 S3=3a1, S6=6a1, S9=9a1. 因a1M 0,得S3+S 甘2S9,显然q=1与题设矛盾，故 q z 1.369a,(1 q )a 1(1 q )2印(1 q )5由 S 3 S 6 2S 9 得，1 q1 q整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ,由 q z 0,得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0 ,因q3Z 1,故q 3扌，所以q 举一反三:【变式1】求等比数列 1,3,1，L 的前6项和。