等差等比数列综合应用【典型例题】[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为d a a d a +-,,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-22)32)(()4()()(a d a d a a d a d a∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a∴ 223232168a d a a =-++-0432=-+d a 代入（1）16)24(3182+-⋅-=-d d0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d① 8=d 10=a ② 38=d 926=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：（1）求n n b a ,（2）解不等式2211601b m a a mm -≤++++解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 109=q ∴ 1)109(2-⋅=n n b 不等式10921601)(2121⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m)1(1816)399123936(21+⋅⋅-≤-+-⇔m m m m 0)1(181639692≤+⋅⋅+-m m m032122≤+-m m0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥<n b a n n解：q a d a b a 1122=+⇒= ∴ )1(1-=q a dd n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n)]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n )]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n *)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*> ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++= 21，求n S 。

解：⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++-=+++221048115987654d a a a a a a a an T 中共12-n 个数，依次成等差数列11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n 项∴ n T 的第一个为2)12(21121⋅-+-=--n n a∴ 2)12()2(21)232(2111⋅-⋅+-⋅=---n n n n n T122112222232-----+⋅-=n n n n 2222323+-⋅-⋅=n nn n T T T S +++= 21)]22()222[(3232220+-++-+++=n n]21)21(241)41(1[33-----⋅=n n 2423143+⋅--=+n n)12)(232(232244--=+⋅-=n n n n 1221-+++=n a a a[例5] 已知二次函数)(x f y =在22+=t x 处取得最小值)0(42>-t t ，0)1(=f（1）求)(x f y =的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)]([)()(1x g x b x a x g x f n n n +=++⋅为多项式，*N n ∈，试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-，圆n C 与1+n C 外切),3,2,1( =n ；}{n r 是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n n S r ,。

解：（1）设4)22()(22t t x a x f -+-= 由0)1(=f 得1=a ∴ 1)2()(2++-=x t x x f （2）将)]1()[1()(+--=t x x x f 代入已知得：1)()]1()[1(+=+++--n n n x b x a x g t x x上式对任意的R x ∈都成立，取1=x 和1+=t x 分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且0≠t ，解得]1)1[(11-+=+n n t t a ，])1(1[1n n t tt b +-+=（3）由于圆的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-又由（2）知1=+n n b a ，故圆n C 的圆心n O 在直线1=+y x 上又圆n C 与圆1+n C 相切，故有111)1(2||2++++=-=+n n n n n t a a r r设}{n r 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧><+=+><+=+++++2)1(21)1(22111n n n n n n t q r r t q r r <2>÷<1>得11+==+t r rq nn 代入<1>得2)1(21++=+t t r n n∴ 1)1()(222122221--=+++=q q r r r r S n nn ππ]1)1[()2()1(2234-+++=n t t t t π[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（)1.1008.112=分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。

解析一：设每期应付款x 元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为11)008.01(+x 元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为10)008.01(+x 元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x x 1008.11008.1)008.1008.11(1211--=+++ 又所购电器的现价及利息之和为12008.12000⨯∴1212008.120001008.11008.1⨯=--x 解得1761008.1008.1161212=-⨯=x 元 ∴ 每期应付款176元解析二：设每期付款x 元，则第1期还款后欠款x -+⨯)008.01(2000第2期还款后欠款x x x x --⨯=-⨯-⨯008.1008.12000008.1)008.12000(2……第12期还款后欠款为x )1008.1008.1(008.12000101112+++-⨯第12期还款后欠款应为0 ∴ 0)1008.1008.1(008.12000101112=+++-⨯x解得1761008.11008.1008.120001212=--⨯=x 元 ∴ 每期应还款176元[例7] 设数列}{n a 的各项都是正数，且对任意+∈N n 都有22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ，记n S 为数列}{n a 的前n 项和。

（1）求证：n n n a S a -=22；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）若an n n b 2)1(31⋅-+=-λ，（λ为非零常数，+∈N n ），问是否存在整数λ，使得对任意+∈N n 都有n n b b >+1。

解：（1）在已知式中，当1=n 时，2131a a = ∵ 01>a ∴ 11=a当2≥n 时，3313231n n a a a a ++++- 2121)(n n a a a a ++++=- ① 2121313231)(--+++=+++n n a a a a a a ② ①－②得)222(1213n n n n a a a a a a ++++=-∵ 0>n a ∴ n n n a a a a a ++++=-1212222 ，即n n n a S a -=22 ∵ 11=a 适合上式 ∴ )(22+∈-=N n a S a n n n （2）由（1）知，)(22+∈-=N n a S a n n n ③ 当2≥n 时，11212----=n n n a S a ④③－④得11212)(2---+--=-n n n n n n a a S S a a 112--+=+-=n n n n n a a a a a∵ 01>+-n n a a ∴ 11=--n n a a∴ 数列}{n a 是等差数列，首项为1，公差为1，可得n a n =（3）∵ n a n = ∴ n n n a n n n nb 2)1(32)1(311⋅-+=⋅-+=--λλ[例8] 已知点),(n a a n A 为函数1:21+=x y F 上的点，),(n n b n B 为函数x y F =:2上的点，其中*N n ∈，设)(*N n b a c n n n ∈-=（1）求证：数列}{n c 既不是等差数列也不是等比数列； （2）试比较n c 与1+n c 的大小。

（1）证：由已知12+=n a n ，n b n = ∴ n n b a c n n n -+=-=12假设}{n c 是等差数列，则必有 3122c c c +=（1） 而)25(2)212(2222-=-+=c4102)313()111(2131-+=-++-+=+c c由（1）5210252=⇒+=⇒矛盾∴ }{n c 不是等差数列假设}{n c 是等比数列，则必有3122c c c ⋅= 即)310)(12()25(2--=-1023)51(6--=- 即52147=矛盾∴ }{n c 不是等比数列综上所述，}{n c 既不是等差数列，也不是等比数列 （2）0)1(1)1(21>+-++=+n n c n 012>-+=n n c n∴ )1(1)1(11)1(1)1(22221++++++=-++-++=+n n n n nn n n c c nn∵ 1)1(1022++<+<n n10+<<n n ∴ 1)1(1)1(1022<++++++<n n n n∴ 101<<+nn c c 又∵ 0>n c ∴ 1+>n n c c[例9] 设)2()(+=x a x x f ，)(x f x =有唯一解，10031)(1=x f ，)()(*1N n x x f n n ∈=+（1）求2004x 的值；（2）若40094-=n n x a 。