2019年山东省济南市中考数学试卷(解析版)2019 年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共48 分）1．﹣ 7 的相反数是（）A．﹣ 7B．﹣C． 7D．12．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A．B．C．D．3． 2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6 度、南纬45.5 度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6 用科学记数法表示为（）A． 0.1776 × 103B． 1.776 × 102C． 1.776 ×103D．17.76× 102 4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠ 1＝ 70°，则∠CBE的度数为（）A． 20°B． 35°C． 55°D．70°5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣ 5B． 6a＞ 6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞ 06．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线7．化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7 次成绩如统计图所示，则这7 次成绩的中位数和平均数分别是（）A． 9.7 m， 9.9 m B． 9.7 m， 9.8 m C． 9.8 m， 9.7 m D．9.8 m， 9.9 m9．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠ 0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，点 E是 BC的中点，以 C为圆心、 CE为半径作弧，交CD于点 F，连接 AE、 AF．若 AB＝6，∠ B＝60°，则阴影部分的面积为（）A． 9﹣3πB． 9﹣2πC． 18﹣9πD．18﹣6π11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东37°方向，继续向北走 105 后到达游船码头，测得历下亭C 在游船码头B的北编东53°方向．请计算m B一下南门 A 与历下亭 C之间的距离约为（）（参考数据： tan37 °≈，tan53 °≈）A． 225m B． 275m C． 300m D．315m12．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝ 0 有一个根是﹣ 1，若二次函数y＝ ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t ＝2a+b，则 t 的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣ 1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣ 1＜t＜二、填空题（每小题 4 分，共24 分．）2．13．分解因式：m﹣ 4m+4＝14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．15．一个n边形的内角和等于 720°，则n＝．16．代数式与代数式 3﹣ 2x的和为4，则x＝．17．某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格．图中l 1、l 2分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x（3）之间的关系．小雨家去年用水量为1503，若m m今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折，使点 A 落在 BC 上的点 N 处， BM 为折痕，连接；再将 沿 翻折，使点 D 恰好落在 上的点 F 处， 为折痕，连接 并延MNCD CEMNCEEF长交于点，若＝ 8，＝5， 则线段PE 的长等于．B M PADAB三、解答题19．（ 6 分）计算：（）﹣1+（π +1） 0﹣2cos60 °+20．（ 6 分）解不等式组 ，并写出它的所有整数解．21．（ 6 分）如图，在 ?ABCD 中， E 、 F 分别是 AD 和 BC 上的点，∠ DAF ＝∠ BCE ．求证： BF ＝DE ．22．（ 8 分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 A 种图书花费了 3000 元，购买 B 种图书花费了 1600 元，A 种图书的单价是 B 种图书的1.5 倍，购买 A 种图书的数量比 B 种图书多 20 本．（ 1）求 A 和 B 两种图书的单价；（ 2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8 折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？23．（ 8 分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙ O的切线交AB的延长线于点E，连接 AC、 BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝ 12，求⊙O的半径．24．（ 10 分）某学校八年级共400 名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取 40 名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（ x）频数频率A x＜4.240.1B 4.2 ≤x≤ 4.4120.3C 4.5 ≤x≤ 4.7aD 4.8 ≤x≤ 5.0bE 5.1 ≤x≤ 5.3100.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（ 1）统计表中的a＝，b＝；（ 2）请补全条形统计图；（ 3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“ E 级”的有多少人？（ 4）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“ 1 男 1 女”的概率．25．（ 10 分）如图 1，点＞ 0）的图象经过点A（0，8）、点B．B（2，a）在直线y＝﹣2x+b 上，反比例函数y＝（ x（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图 2，当m＝ 3 时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的 m的值．26．（ 12 分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ ABC中，AB＝ AC， M是平面内任意一点，将线段AM绕点 A 按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接 NB．（ 1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠ MAC的数量关系MC的数量关系是；是， NB与（2）如图 2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图 3，在△A1B1C1中，A1B1＝ 8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接 A1P，将 A1P 绕点 A1按顺时针方向旋转75°，得到线段 A1Q，连接 B1Q．求线段B1Q长度的最小值．27．（ 12 分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣ 4， 0）、B（﹣ 1， 3）两点，G是其顶点，将抛物线 C绕点 O旋转180°，得到新的抛物线 C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图 2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（ m＜﹣2），连接 DO并延长，交抛物线C′于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE＝2EM，求 m 的值；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠ DEP＝∠ GAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．解：﹣ 7 的相反数为7，故选： C．2．解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故 A 不符合题意；B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故 B 不符合题意；C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；故选： D．3．解： 177.6 ＝ 1.776 × 102．故选： B．4．解：∵DE∥BC，∴∠ 1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ ABC，∴∠ CBE＝∠ABC＝35°，故选： B．5．解：由图可知，b＜0＜ a，且| b|＜| a|，∴a﹣5＞ b﹣5，6a＞6b，﹣ a＜﹣ b，a﹣ b＞0，∴关系式不成立的是选项 C．故选： C．6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选： C．7．解：原式＝+＝＝，故选： B．8．解：把这 7 个数据从小到大排列处于第 4 位的数是9.7 m，因此中位数是 9.7 m，平均数为：（ 9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷ 7＝9.8，m故选：．B9．解：a ＞0 时，﹣a＜ 0，＝﹣+a在一、二、四象限，＝在一、三象限，无选项符合．y ax ya＜0时，﹣ a＞0， y＝﹣ ax+a 在一、三、四象限，y＝（ a≠0）在二、四象限，只有 D 符合；故选： D．10．解：连接AC，∵四边形 A BCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ B＝60°， E 为 BC的中点，∴CE＝BE＝3＝ CF，△ ABC是等边三角形， AB∥CD，∵∠ B＝60°，∴∠ BCD＝180°﹣∠ B＝120°，由勾股定理得：＝＝ 3，AE∴ S△AEB＝ S△AEC＝×6× 3×＝4.5＝ S△AFC，∴阴影部分的面积S＝ S△AEC+S△AFC﹣ S 扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝ 9 ﹣3π，故选： A．11．解：如图，作CE⊥ BA于 E．设 EC＝ xm， BE＝ ym．在 Rt △ECB中， tan53 °＝，即＝，在 Rt △AEC中， tan37 °＝，即＝，解得 x＝180， y＝135，∴ AC＝＝＝300（m），故选： C．12．解：∵关于x 的一元二次方程ax2+bx+＝ 0 有一个根是﹣1，∴二次函数y ＝ax2+ + 的图象过点（﹣1， 0），bx∴a﹣ b+＝0，∴b＝ a+， t ＝2a+b，则 a＝，b＝，∵二次函数y＝ ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞ 0，﹣＞ 0，将 a＝， b＝代入上式得：＞ 0，解得：﹣ 1＜t＜，﹣＞ 0，解得：t或1＜t＜3，故：﹣ 1＜t＜，故选： D．二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．）13．解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（ m﹣2）214．解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有 8 种等可能的结果，在这 6 种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2 种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是＝；故答案为．15．解：依题意有：（n﹣2）?180°＝720°，解得 n＝6．故答案为： 6．16．解：根据题意得：+3 ﹣ 2x＝ 4，去分母得： 2x﹣1+9﹣ 6x＝12，移项合并得：﹣4x＝ 4，解得： x＝﹣1，故答案为：﹣117．解：设当x＞120时， l 2对应的函数解析式为y＝ kx+b，，得，即当 x＞120时， l 2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当 x＝150时， y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷ 160＝ 3（元33/ m），故小雨家去年用水量为150m，需要缴费： 150× 3＝450（元），660﹣ 450＝210（元），即小雨家去年用水量为3210 元，150m，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多故答案为： 210．18．解：过点P 作 PG⊥ FN， PH⊥ BN，垂足为 G、H，由折叠得： ABNM是正方形， AB＝ BN＝ NM＝ MA＝5，CD＝ CF＝5，∠ D＝∠ CFE＝90°， ED＝ EF，∴ NC＝MD＝8﹣5＝3，在 Rt △FNC中，FN＝＝ 4，∴ MF＝5﹣4＝1，在 Rt △MEF中，设EF＝x，则ME＝ 3﹣x，由勾股定理得，12+（ 3﹣x）2＝x2，解得： x＝，∵∠ CFN+∠ PFG＝90°，∠ PFG+∠ FPG＝90°，∴△ FNC∽△ PGF，∴FG：PG： PF＝NC： FN：FC＝3：4：5，设 FG＝3m，则 PG＝4m， PF＝5m，∴GN＝PH＝ BH＝4﹣3m， HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝ PG＝4m，解得： m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共9 个小题，共78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．解：（）﹣1+（π +1）0﹣2cos60°+＝ 2+1﹣ 2×+3＝ 3﹣ 1+3＝ 520．解：解①得： x≤4；解②得： x＞2；∴原不等式组的解集为2＜x≤ 10；∴原不等式组的所有整数解为3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10．21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ B＝∠ D，∠ BAD＝∠ BCD， AB＝CD，∵∠ DAF＝∠ BCE，∴∠ ABF＝∠ DCE，在△ ABF和△ CDE中，，∴△ ABF≌△ CDE（ ASA），∴BF＝DE．22．解：（ 1）设B种图书的单价为x 元，则 A 种图书的单价为 1.5 x元，依题意，得：﹣＝20，解得： x＝20，经检验， x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5 x＝ 30．答： A种图书的单价为30 元，B种图书的单价为20 元．（2） 30× 0.8 ×20+20× 0.8 × 25＝880（元）．答：共花费 880 元．23．解：（ 1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴OA＝OC＝ OB＝OD，∴∠ OAC＝∠ OCA，∠ ODB＝∠ OBD，∵∠ AOC＝∠ BOD，∴∠ OAC＝∠ OCA＝∠ ODB＝∠ OBD，即∠ ABD＝∠ CAB；（ 2）连接BC．∵AB是⊙ O的两条直径，∴∠ ACB＝90°，∵CE为⊙ O的切线，∴∠ OCE＝90°，∵B 是 OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△ OBC为等边三角形，∴∠ ABC＝60°，∴∠ A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙ O的半径为4．24．解：（ 1）由题意知C等级的频数a＝8，则 C组对应的频率为8÷40＝ 0.2 ，∴ b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，故答案为： 8、 0.15 ；（2）D组对应的频数为40× 0.15 ＝ 6，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有 400×0.25 ＝ 100（人）；（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有8 种，所以恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率＝．25．解：（ 1）∵点A（ 0， 8）在直线y＝﹣2x+b 上，∴﹣ 2× 0+b＝ 8，∴ b＝8，∴直线 AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点 B（2， a）代入直线AB的解析式 y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝ a，∴a＝4，∴B（2，4），将 B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝ xy＝2×4＝8；（ 2）①由（ 1）知，B（ 2， 4），k＝ 8，∴反比例函数解析式为y＝，当 m＝3时，∴将线段 AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即： D（5，4），∵ DF⊥x 轴于点 F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，），∴DE＝4﹣＝， EF＝，∴＝＝；②如图，∵将线段AB向右平移 m个单位长度（ m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB， AC＝BD＝ m，∵ A（0，8）， B（2，4），∴C（ m，8）， D（（ m+2，4），∵△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当 BC＝ CD时，∴BC＝AB，∴点 B在线段 AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当 BC＝ BD时，∵ B（2，4）， C（ m，8），∴BC＝，∴＝ m，∴ m＝5，即：△ BCD是以 BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．26．解：（一）（ 1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图 1 中，∵∠ MAN＝∠ CAB，∴∠ NAB+∠ BAM＝∠ BAM+∠MAC，∴∠ NAB＝∠ MAC，∵AB＝AC， AN＝AM，∴△ NAB≌△ MAC（ SAS），∴ BN＝CM．故答案为∠ NAB＝∠ MAC，BN＝ CM．（ 2）如图 2 中，①中结论仍然成立．理由：∵∠ MAN＝∠ CAB，∴∠ NAB+∠ BAM＝∠ BAM+∠MAC，∴∠ NAB＝∠ MAC，∵AB＝AC， AN＝AM，∴△ NAB≌△ MAC（ SAS），∴ BN＝CM．（二）如图 3 中，在A C上截取A N＝A Q，连接PN，作NH⊥B C于H，作AM⊥BC于M．1 111 1 1111∵∠C1A1B1＝∠ 1，PA Q∴∠ QAB＝∠ PAN，1 11∵A1A＝ A1P， A1B1＝AN，∴△ QAB≌△ PAN（ SAS），1 11∴B1Q＝ PN，∴当 PN的值最小时， QB的值最小，1在 Rt △A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝ 8，∴ A1M＝ A1B1?sin60°＝4，∵∠MAC B A C B A M1 1＝∠111﹣∠ 1 1＝ 75°﹣ 30°＝ 45°，∴A1C1＝4，∴ NC＝ AC ﹣A N＝4﹣8，1 1 11在 Rt △NHC，∵∠C＝ 45°，11∴＝4﹣ 4 ，NH根据垂线段最短可知，当点P 与H重合时，的值最小，PN∴1的最小值为 4 ﹣4．QB27．解：（ 1）将A（﹣ 4， 0）、B（﹣ 1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线 C解析式为： y＝﹣ x2﹣4x，配方，得： y＝﹣ x2﹣4x＝﹣（ x+2）2+4，∴顶点为： G（﹣2，4）；（ 2）∵抛物线C绕点O旋转 180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为： G′（2，﹣4），二次项系数为： a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（ x﹣2）2﹣4＝ x2﹣4x将 A（﹣4，0）代入y＝ kx﹣中，得0＝﹣ 4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，2∵ D（ m，﹣ m﹣4m），∴直线 DO的解析式为y＝﹣（ m+4） x，由抛物线 C与抛物线 C′关于原点对称，可得点D、 E 关于原点对称，2∴ E（﹣ m， m+4m）如图 2，过点D作DH∥y轴交直线l 于 H，过 E 作 EK∥y 轴交直线 l 于 K，则 H（m，m﹣）， K（﹣ m， m﹣），222m﹣）＝∴ DH＝﹣ m﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m m+， EK＝ m+4m﹣（2m+，m+∵DE＝2EM∴＝，∵DH∥y 轴， EK∥ y轴∴ DH∥EK∴△ MEK∽△ MDH∴＝＝，即 DH＝3EK22m+）∴﹣ m m+＝3（ m+解得：1＝﹣ 3，2＝，m m∵ m＜﹣2∴ m的值为：﹣3；（ 3）由（ 2）知：m＝﹣ 3，∴ D（﹣3，3），E（3，﹣3）， OE＝3，222＝1822如图 3，连接BG，在△ABG中，∵AB＝（﹣ 1+4） +（ 3﹣0）， BG＝2，AG＝20 222∴ AB+BG ＝AG∴△ ABG是Rt△，∠ ABG＝90°，∴ tan ∠GAB＝＝＝，∵∠ DEP＝∠ GAB∴ tan ∠DEP＝ tan ∠GAB＝，在 x 轴下方过点 O作 OH⊥OE，在 OH上截取 OH＝OE＝，过点E 作⊥轴于，连接交抛物线C于点，点P即为所求的点；ET y T EH P∵E（3，﹣3），∴∠ EOT＝45°∵∠ EOH＝90°∴∠ HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线 EH解析式为 y＝ px+q，则，解得∴直线 EH解析式为 y＝﹣ x ，解方程组，得，，∴点 P的横坐标为：或．。