向心力一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力.2.方向：始终沿着半径指向圆心.3.表达式：(1)F n＝mv2r(2)F n＝mω2r (3)F n＝m()2πT2r(4)F n＝ma n4.向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.二、变速圆周运动和一般的曲线运动1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.(1)跟圆周相切的分力F t：产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢.(2)指向圆心的分力F n：产生向心加速度，此加速度描述线速度方向改变的快慢.2.一般的曲线运动的处理方法(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.(2)处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆弧.研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理.1.判断下列说法的正误.(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.(×)(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.(×)(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.(√)(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.(×)(5)变速圆周运动的向心力大小改变.(√)(6)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.(√)2.(多选)如图所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是()ADA.重力、支持力、绳子拉力B.重力、支持力、绳子拉力和向心力C.重力、支持力、向心力D.绳子拉力充当向心力三、匀速圆周运动问题分析1.匀速圆周运动问题的求解方法圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.2.几种常见的匀速圆周运动实例图形受力分析力的分解方法满足的方程及向心加速度⎩⎨⎧F cos θ＝mgF sin θ＝mω2l sin θ或mg tan θ＝mω2l sin θa n＝g tan θ⎩⎨⎧F N cos θ＝mgF N sin θ＝mω2r或mg tan θ＝mrω2a n＝g tan θ⎩⎨⎧F升cos θ＝mgF升sin θ＝mω2r或mg tan θ＝mrω2a n＝g tan θ⎩⎨⎧F N＝m A gF拉＝m B g＝m Aω2ra n＝ω2r例1 如图所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆长为L ′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装置可绕竖直轴转动.g 取10 m/s 2，问(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？ (2)此时绳子的张力为多大？解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为F T ，小球重力为mg ，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力. 对小球利用牛顿第二定律可得： mg tan 45°＝mω2r ① r ＝L ′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/s F T ＝mgcos 45°≈4.24 N.例2 如图所示，有一个内侧光滑，可绕竖直中轴线转动的装置。

已知装置内侧斜面与水平面夹角θ＝60°，当装置以恒定角速度ω转动时，离转轴距离r ＝10cm 有一质量为m ＝50g 的小物块与装置始终保持相对静止，求装置的角速度ω.例3 如图所示，一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g )( ) A A.m g 2＋(v 2R)2 B.m (v 2R)2－g 2 C.m v 2RD.mg例4 如图所示，细绳的一端系着质量为M ＝2kg 的物体A ，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m ＝0.5kg 物块B ，A 的重心与圆孔的距离为0.5m 。

并已知A 与圆盘的最大静摩擦力与4N ，A 随水平圆盘一起转动，则水平转盘的角速度ω取何值可使B 高度不变。

（g 取10m/s 2）【解答】解：当物体M 在此平面绕中心轴线以ω角速度转动时，当M 恰好要向里滑动时，ω取得最小值为ωmin ，此时M 所受的静摩擦力达到最大为F max ，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供所需要的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式有：，代入数据解得ωmin ＝1rad/s ；当M 恰好要向外滑动时，ω取得最大值为ωmax ，此时M 所受的静摩擦力达到最大为F max ，方向沿半径向里， 由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供所需要的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式有：，代入数据解得ωmax ＝3rad/s ；所以角速度范围是：1rad/s ≤ω≤3rad/s1、某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．设绳长L ＝10m ，座椅的质量 m ＝60kg ，绳子悬挂点与转轴之间的距离r ＝4m ．转盘逐渐加速转动，经过一段时间后座椅与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳子与竖直方向的夹角θ＝37°（不计空气阻力、绳子的重力和绳子的形变量，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g ＝10m/s 2）求：座椅与转盘一起做匀速圆周运动时，绳子的拉力T 及转盘的角速度ω. 【解答】解：座椅与转盘一起做匀速圆周运动时Tcos θ＝mg ① Tsin θ＝m ω2R ②③根据几何关系有R ＝d+Lsin θ④ 由①②③④得T ＝750N,2、如图，光滑杆AB 长为L ＝3m ，B 端固定一根劲度系数为k＝10N/m、原长为L0＝2m的轻弹簧，质量为m＝2kg的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO'为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ＝53°．当球随杆一起绕OO'轴匀速转动时，弹簧恰好处于原长，求：匀速转动时的角速度ω；（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g＝10m/s2）【解答】解：（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知mgtan53°＝mω2Lcos53°解得3、质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图，则空气对飞机的升力大小为（B）A．m B．mC．Mg D．m4、如图，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)解析当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋F fmax＝mrω12①由于B静止，故有F＝mg②又F fmax＝μF N＝μmg③由①②③式可得ω1＝g(1＋μ)r当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－F fmax＝mrω22④由②③④式可得ω2＝g(1－μ)r故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即g(1－μ)r≤ω≤g(1＋μ)r.1.(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是()ACDA.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小2.如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是()CA.木块A受重力、支持力和向心力B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同3.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是()AA.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为cB.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为aD.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b4.如图，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针).某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是()C5.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图所示，则此时()AA.衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用B.衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的C.筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小D.筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大6.如图所示，水平圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则()BA.物块A不受摩擦力作用B.物块B受5个力作用C.当转速增大时，A所受摩擦力增大，B所受摩擦力减小D.A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴7.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为()CA.μmgB.μm v2R C.μm(g＋v2R) D.μm(g－v2R)8.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A A.线速度v A ＞v B B.角速度ωA ＞ωB C.向心力F A ＞F B D.向心加速度a A ＞a B9.(多选)如图所示，A 、B 两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO ′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比m A ∶m B ＝2∶1，那么关于A 、B 两球的下列说法中正确的是( ) BCDA.A 、B 两球受到的向心力之比为2∶1B.A 、B 两球角速度之比为1∶1C.A 、B 两球运动半径之比为1∶2D.A 、B 两球向心加速度之比为1∶210.(多选)如图所示，水平转台上放着A 、B 、C 三个物体，质量分别为2m 、m 、m ，离转轴的距离分别为R 、R 、2R ，与转台间的动摩擦因数相同.已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是( ) AD A.若三个物体均未滑动，则C 物体的向心加速度最大 B.若三个物体均未滑动，则B 物体受的摩擦力最大 C.若转速增加，则A 物体比B 物体先滑动 D.若转速增加，则C 物体最先滑动11.(多选)如图，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m 的A 、B 两个物块(可视为质点).A 和B 距轴心O 的距离分别为r A ＝R ，r B ＝2R ，且A 、B 与转盘之间的最大静摩擦力都是F m ，两物块A 和B 随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止.则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中，下列说法正确的是( ) CD A.B 所受合外力一直等于A 所受合外力 B.A 受到的摩擦力一直指向圆心 C.B 受到的摩擦力一直指向圆心D.A 、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为2F mmR12.长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，求细线与竖直方向成θ角时：(重力加速度为g )(1)细线中的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小.解析 (1)小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向：F T cos θ＝mg ，故拉力F T ＝mgcos θ. (2)小球做圆周运动的半径r ＝L sin θ，向心力F n ＝F T sin θ＝mg tan θ，而F n ＝m v 2r ，故小球的线速度v ＝gL sin θtan θ.13.如图所示，水平转盘上放有一质量为m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g ) (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度. (2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小. 解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg ＝mω02r ，得ω0＝μg r. (2)当ω＝3μg2r时，ω>ω0，所以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝mω2r 即F ＋μmg ＝m ·3μg 2r ·r ，得F ＝12μmg .14.如图所示装置可绕竖直轴OO ′转动，可视为质点的小球A 与两细线连接后分别系于B 、C 两点，当细线AB 沿水平方向绷直时，细线AC 与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m ＝1 kg ，细线AC 长L ＝1 m.(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)若装置匀速转动，细线AB 刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1的大小； (2)若装置匀速转动的角速度ω2＝563rad/s ，求细线AB 和AC 上的张力大小F T AB 、F T AC .解析 (1)当细线AB 刚好被拉直，则AB 的拉力为零，靠AC 的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mg tan 37°＝mL AB ω12 解得ω1＝g tan 37°L AB ＝522rad/s (2)若装置匀速转动的角速度ω2＝563rad/s 竖直方向上有F T AC cos 37°＝mg水平方向上有F T AC sin 37°＋F T AB ＝mL AB ω22 代入数据解得F T AC ＝12.5 N ，F T AB ＝2.5 N.。