第十九周数学综合练习一、选择题(每题5分，共50分)1．若复数z 满足3)6i z i =（i 是虚数单位），则z ＝（ ）A ．32-B ．32-C ．32+D ．32- 2. 函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 3. 函数2))(2(a x a x y -+=的导数为（ ）A ．)(222a x -B ．)(322a x +C ．)(322a x -D ．)(222a x + 4．对于ab b a R b a 2,,≥+∈+……大前提xx x x 121⋅≥+……小前提 所以21≥+xx ……结论 以上推理过程中的错误为（ ） A ．大前提 B ．小前提C ．结论D ．无错误5. 已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ）A.11或18B.11C.18D.17或18 6. 已知m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为（ ）A ．37-B ．29-C ．5-D ．11-7.函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤ 8. 双曲线04422=-+t ty x 的虚轴长等于( )A.t 2 B ．-2t C ．t -2 D ．49. 函数ln xy x=的最大值为( ) A.1e B ．e C ．2e D ．10310. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为( )A．．3 D ． 2 二、填空题(每题5分，共25分)11. 已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ． 12. 曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为 ． 13. 已知1)6()(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为 ．14. 设0a <,2()97a f x x x=+-, 若1)(+≥a x f 对一切．．0x >恒．成立,则a 的取值范围为 ．15. 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，030x ≤≤)的平方成正比，已知商品单价降低2元是，一星期多卖出24件，当定价为 元时，才能使一个星期的销售利润最大.三、解答题(解答题应写出必要的文字说明、演算步骤、推理过程) 16.求下列函数的导数 (1) 2(34)(21)y x x x =-+(2) 2cos y x x = (3) ln x y e x =17. (1) 已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，且1z =，1z z +=，求z ；(2) 已知复数25(15)3(2)12m z i m i i=-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.18． 已知函数()32f x x ax bx c =-+++图象上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数．（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 的极值.19. 已知函数()x f x e =，()x R ∈(1) 求()f x 在点(1,)e 处的切线方程；(2) 证明: 曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点；20．在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．21. 已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)- （1）试求,m n 的值；（2）求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；（3）过点(1,)A t ，是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.第十九周数学综合练习参考答案一、选择题ACCBC ABCAD 二、填空题11. 7 12. 0x y ππ+-= 13. 63>-<a a 或14. 78-≤a 15. 18三、解答题16. 解： (1) '218104y x x =-- (2) '22cos sin y x x x x =-(3) '1(ln )x y e x x=+18． 解:(1) ()'232fx x ax b =-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，∴()'1323f a b =-++=-，即20a b +=，又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-,又函数3)(3+++-=c bx x x g 是奇函数，∴ 3.c =- ∴2,4,3a b c =-==-， ∴()32243f x x x x =--+-．（2）)2)(23(443)(2'+--=+--=x x x x x f ，令,0)(=x f 得32=x 或2-=x ，∴，极小11)2()(-=-=f x f .2741)32()(-==f x f 极大19. (1) ()x f x e '=，则(1)f e '=，()f x 点(1,)e 处的切线方程为：(1)y e e x -=-,y ex =(2) 令 2211()()1122x h x f x x x e x x =---=---，x R ∈， 则'()1x h x e x =--，''()1xh x e =-，且(0)0h =，'(0)0h =，''(0)0h =因此，当0x <时，''()0h x <，'()y h x =单调递减； 当0x >时，''()0h x >，'()yh x =单调递增.所以'()'(0)0y h x h =≥=，所以()y h x =在R 上单调递增， 又(0)0h =，即函数()h x 有唯一零点0x =， 所以曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点(0,1). 20. (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理，得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消y ，得 k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.∵直线l 与抛物线C 2相切，∴Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理，得km ＝1，②联立①、②，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2， ∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 21.解：⑴m=1，n=0．⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-， ∵3(1)112111f =-⋅=-当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-，∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =-- 因为过点A （1，-11）， 2300113(4)2x x -=--， ∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-， 切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-= 所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=． ⑶ 存在满足条件的三条切线． 设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，23320003(4)22312t x x x x =--=-+-， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可． 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得 1211t -<<-.。