1）正定性：ar, ar 0, ar, ar =0 ar=0
2）对称性： a ,
b
b,
a,
3）线性性： a,
1b
2
c
1
a,
b
2
a,
c
4）分配率： a,
b
c
a,
b
a,
c
定义3： 在n维向量空间Rn定义内积运算， 称为欧几里得（Euclid）空间.
定义 4： ar Rn,ar (a1,a2,L ,an),定义向量的长度（或者范数）
Bo A;r X 0 X A r, X , A Rn .
定义1（集合有界）设集合E Rn,如果存在r 0,使得
E B O;r ，则称集合E有界.
定义2（开集合）设集合E Rn , E,如果存在r 0,使得
B O;r ，则称为集合E的内点.E的所有内点的集合记为
Eo，如果Eo =E，则称E为开集合.
U 2)如果Ei为闭集合，则 Ei为闭集. i=1
定义5(聚点) 设E Rn , A Rn ,如果对任意r 0,
Bo A;r 中总有E中得点，则称A为集合E的聚点.
定义6(导集和闭包) 设E Rn ,集合E所有聚点的集合 称为E的导集,记为E',集合E U E'为集合E的闭包,记为E.
例 设E x, y x2 y2 a ,则 E' E x, y x2 y2 a
E，
因此X为内点，结论得证。
注：结论3）只能有限个开集的交为开集合,例如：
I
B
i 1
O;
1 i
O
定义3（集合的补集）
E Rn ,定义 Ec Rn \ E为集合E的集.
y
例
Ec (x, y) x2 y2 a
集合E x, y x2 y2 a
补集为
Ec x, y x2 y2 a .
, an
bn ),
b (b1 , b2 ,L , bn ),
R,a,b Rn.
性质1
ar,
v b,
cr
R
n
,
,
R,
则有
1）交换律：ar
r b
r b
ar；
2）结合律：ar
r b
cr ar
r b
cr
；
3）分配率：
ar
r b
ar
r
b,
ar ar ar,
ar ar .
定理1 对任意集合E Rn , E o为开集.
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E , I为开集合族,则 U E为开集; I
n
3)设Ei
,
i
1,
2,K
,
n为开集,则 i 1
Ei为开集.
证明 : X
U
I
E ,则E1
U
I
E ,
X
E1 ,
因此存在r>0,使得
B X;r
E1
U
I
1)E a,bc,d ; 2)E x, y xy 0;
3)E x, y xy 0;4)E x, y x, y均整;
5)E
x,
y
y
sin
1 x
,
x
0
定义两个向量的夹角为
cos(a, b)
a b
ab
a1b1 a2b2 L anbn
。
a12 a22 L an2 b12 b22 L bn2
12.2 Rn 中点集合的基本概念
引入几个记号：
B A;r X X A r, X , A Rn ；
B A;r X X A r, X , A Rn ；
anbn
a12 a22 K an2 b12 b22 K bn2 因此由内积运算性质
a
b
2
a
b,a
b
a,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1 , a2 ,K , an ), b (b1, b2 ,K , bn )，
Ec E
x2 y2 a2
O
x
定理 3 (De Morgan 定理) 设I为指标集合,则
I U
1)
c E
Ec ;
I I
U I
2)
c E
Ec
I I
定义4（闭集）E Rn ,定义 Ec为开集,则称E为闭集.
定理4 (闭集合的运算性质) 设I为指标集合,则
I 1)如果集合族E , I ,为闭集,则 E为闭集; I n
例 E x, y x2 y2 a, x 0 U x, y x2 y2 a, x 0
不是开集合,也不是闭集合.
定理5 E Rn为闭集的充分必要条件为E' E.
定义7 （集合的外点和边界） 设E Rn
Ec o 为集合E的外点，外点的全体称为集合E的外部；
既不是内点也不是外点的集合称为的E边界.
定义2 在Rn中定义了向量的加法和数乘运算， 称Rn为n维向量空间.
定义3
ar,
r b
Rn , ar
(a1, a2 ,L
r , an ), b
(b1, b2 ,L
, bn )，
定义内积运算：ar
r b
a1b1
a2b2
L
anbn
n
aibi .
i 1
通常记为
ar,
r b
性质（ 2 内积的运算性质） a , b, c Rn , 1，2 R，
第12章 多变量函数 极限与连续
12.1 n维 Euclid 空间
引进记号：
Rn {( x1, x2 ,L , xn ) : xi R, i 1, 2,L , n}
定义1 定义Rn中加法和数乘
这arar里brarr((aa(1a1, 1,aab212,,,LLa2
b2 ,L
, an ),
, an )，
ar (a,a) a12 a22 K an2
性质3(范数性质)：ar
,
r b
Rn
,
R,则1）ar来自 0；2）ar ar ；
3）ar
r b
ar
r b（三角不等式）
证明3）
设ar
(a1 ,
a2 ,K
,
an
),
r b
(b1, b2 ,K
,
bn ),则根据柯西不等式
a,
b
a1b1
a2b2
K
E y
(Ec )o
成立:
Eo
Rn Eo U
Ec
o
U E
O
x
定义6 (区域) 集合E中任意两点之间可以有一条完全含于 E的不间断曲线连接,则E是连通的. 进一步连通的开集称为 (开)区域. 区域的闭包称为闭区域. 区域包括开区域、闭区 域以及开区域和一部分边界点组成的区域.
例1 判断下面集合是开集\闭集\区域,并求导集和边界集合