数形结合思想
知识综述
（1）函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其原因，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式出现。
（2）解答此类问题必须充分注意以下问题：
a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系
b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化
c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x轴的交点，横坐标是对应方程的根。
d. 熟练掌握几个距离公式：
点P（x，y）到原点的距离
e. 具备扎实的几何推理论证能力。
一、填空题（每空5分，共50分）
1. 如果a，b两数在数轴上的对应点如图所示：
则化简：__________。
2. 已知A，B是数轴上的两点，AB=2，点B表示数－1，则点A表示的数为__________。
3. 已知△ABC的三边之比是，则这个三角形是__________三角形。
4. 已知点A在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，则点A的坐标是__________。
（写出符合条件的一个点即可）
5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为CD的中点，△BCE的面积为1，则△ACD 的面积为__________。
6. 已知二次函数的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数
a，b，c的关系式：①②③④，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上）
7. 如图，AB是半圆的直径，AB=10，弦CD∥AB，∠CBD=45°，则阴影部分面积为__________。
8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是__________元。
9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为
__________。
10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若
，则AD的长为__________。
二、解答题（第11~14题每题10分，第15~19题，每题12分，共100分）
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=10，并且a，b（）为关于x的方程
的两根。
（1）求m的值；
（2）求sinA，tanB的值。
12. 如图，在直角坐标系中，直线AB⊥BC，垂足为，E为线段AB的中点，且OE=1，
①求E点的坐标；
②设直线经过B，C两点，求k，b的值。
13. 如图点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC，CD，DB满足什么关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
14. 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为过圆心O的割线，PA=10，PB=5，
（1）求∠APC的余弦值；
（2）求作以sin∠APC，cos∠APC为两根的一元二次方程。
15. 如图，已知两点A（－8，0），B（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。
（1）求过A，C两点的直线的解析式和经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）若点D是（1）中抛物线的顶点，求△ACD的面积。
16. 如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC。
连结DE，DE=。
（1）求EM的长；
（2）求sin∠EOB的值。
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm。
点P沿AB边从点A开始向点B以2 厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。
如果P，Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
18. 阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：
（1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；
（2）根据你给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标；
（3）求出线段AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。
19. 已知：如图，AB是半圆O的直径，C为AB上一点，AC为半圆O'的直径，BD切半圆O'于点D，CE⊥AB交半圆O于点E。
（1）求证：BD=BE；
（2）若两圆半径的比为3：2，试判断∠EBD是直角、锐角还是钝角？并给出证明。
试题答案
一、填空题：
1. 26
2. 1或－3
3. 直角
4. （－1，2）
5. 2
6. ①②④
7.
8. 300
9.
10. 2
二、解答题：
11. 解：（1）由韦达定理得
又∵
由③得④
把①、②式代入④
其中m=－8不合题意，舍去
∴m=14
（2）又∵a>b
∴a=8，b=6
∴
12. 解：①过E作EH⊥x轴于H
∵∠AOB=Rt∠，E为AB的中点，
OE=1
∴AB=2，
又∵，∴OA=1
∴
∴E点坐标为（）
②又∵AB⊥BC
∴由射影定理得：
∴OC=3
∴C（－3，0）
又∵直线BC过B、C两点
∴
∴
13. 解：（1）若△ACP∽△PDB
则有：
又∵PC=PD=CD
∴
∴当时
△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时
又∵
∴
14. 解：连结OA
（1）∵PA为⊙O的切线，PBC为过圆心O的割线。
∴
∴
∴PC=20
∴
∴在Rt△APO中
（2）∵
∴
∴新方程为：
即
15. 解：（1）连AC、BC
∵直径AB，∴∠ACB=90°
∴由射影定理得OC=4
∴C点坐标（0，4）
∴直线AC的函数解析式
为
设过A、B、C的解析式为
把C（0，4）代入得
∴
（2）∵D
∴
16. 解：（1）∵∴
EM=4
（2）过E作EF⊥AB于F
17. 解：（1）当AQ=AP时即（秒）
（2），发现在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。
（3）若△QAP∽△CBA
则∴
若
则
当t=3秒或1.2秒时，相似。
18. （1）小明从家里出发，步行去上学，每分钟走50米，12分钟到学校，到校后他发现忘带了数学作业本，立即跑步回家：跑了3分钟到达家里。
（2）x轴表示时间，单位：分，y轴表示路程，单位：米
A（12，600），B（15，0）
（3）
19. 解：（1）证：连AE，
（2）∵AB：AC=3：2
∴设AB=3k，则AC=2k，BC=k
则
又∵
∴
∴
∴∠EBC＜60°
∴∠EBD=∠EBC+∠O'BD＜60°+30°=90°故∠EBD是锐角。