习题二1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为0R ，球的电势为0V ．答案： .ˆ2200z e V F πε= 解：0004R q V πε=，0004V R q πε=，.00R V εσ=z z eV e R F ˆ2ˆ22002002πεπεσ=⋅= ２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质．⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场．⑵求f λ随时间的衰减规律．⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度．⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0tf eεσλλ-=⑶22⎪⎪⎭⎫⎝⎛r f πελσ；⑷.ln 222a bl f πελσ 解：⑴r f e r D ˆ2πλ= ，.ˆ2r fe rD E πελε==.ˆ2r f f e r E J πεσλσ== .ˆ21r fD e tr t D J ∂∂=∂∂=λπ对两式求散度，并且由f D ρ=⋅∇ ，0=∂∂+⋅∇tJ ff ρ得f f tλεσλ-=∂∂，所以 0=∂∂+tDJ f 。

因为介质是非磁性的，即H Bμ=，故任意一点，任意时刻有 000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⨯∇=⨯∇t D J H B fμμ⑵由f f tλεσλ-=∂∂，解这个微分方程得 ()tf e t εσλλ-=0⑶()222/r E E J p f f πελσσ==⋅=⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为.ln 222222a b l rldr r f baf πελσππελσ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰ 能量密度()22/,21r tw D E w f πελσ-=∂∂⋅= 长度为l 的一段介质内能量减少率为.ln 2222ab l rldr t wf baπελσπ⎰=∂∂-３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示．⑴试求筒内的磁感应强度B；⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E和玻印廷矢量S ；⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2022B l R dt d μπ． 答案： ⑴ωσμR B 0=；⑵ωασμe eRr E r ˆˆ210⨯= ；r e r R S ˆ212320ασμ-= ．解：⑴单位面电流ωσσπR lTRl i ==2 ωσμμR ei B z 00ˆ== ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r 为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为ωσμπR r S d B s02=⋅=Φ⎰由法拉第定律，得 .21210dtd Rr dt d r E ωσμπ-=Φ-=因为 t αω=所以ασμrR E 021-= 考虑到方向，则有z r e erR E ˆˆ210⨯=ασμ 在筒内接近表面处，z r e eR E ˆˆ2120⨯=ασμ 该处的能流密度为()()z z r R R R e R e eR H E S ˆˆˆ2120ωσασμ⨯⨯=⨯= r et R ˆ212320ασμ-= 负号表明，S 垂直于筒表面指向筒内。

⑶进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为 lt R Rl S R s 24202ασπμπ=⋅=Φ而lt R dt dB B l R B l R dt d 2420022022ασπμμπμπ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Φ2022B l R dt d S μπ 讨论：此结果表明，筒内磁场增加的能量等于S 流入的能量。

由于筒未转动时，筒内磁场为零，磁场能量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由表面输入的。

４．已知太阳光正入射时，地面上每平方厘米每分钟接收太阳光的能量为cal 94.1，J cal 1868.41=．设射到地面上的太阳光全部被吸收．已知地球的半径为km 3104.6⨯，试求太阳光作用在整个地球上的力．答案： ()N dtdpF 8108.5⨯==． 解：电磁波动量密度大小为 200cS S G ==με 在t 时间内射到地球上的太阳光的动量为 cS tR ctG R p 22ππ== 这些动量全被太阳吸收，故太阳所受力为 ()N dtdpF 8108.5⨯==5．由电磁场存在时的动量守恒定律导出角动量守恒定律。

解：电磁场存在时动量守恒定律的微分形式为→→⋅-∇=∂∂+T g tf（1） 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⨯=→→→→20200001211,B E I B B E E T B E g μεμεε 分别为电磁场动量密度和电磁场动量流密度。

对（1）式左边取与r矢量积，得()()gr p r tg p r t ⨯=⨯=+∂∂=+⨯∂∂ζξζξ,,分别为机械角动量和电磁场角动量。

（1）式右边取与r矢量积，得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∂∂=⋅∇⨯→→l j lk lk j lijk l lk j ijk i x x T T x x x T x T r εε)(ijk ε表示有两个相同指标应该从1~3取和，且()k j ijk i b a b a ε=⨯。

上式右边第一项可表示为i r T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⋅∇-→→ ；第二项利用jl lj x x δ=∂∂可以化为jk ijk T ε-，若注意到ijk ε对于指标jk 为反对称，而jk T 为对称张量，因此该项应该为零。

于是最后得到角动量守恒定律的形式为()→→⋅-∇=+∂∂M t场力ζξ， 其中r T M⨯-=→→→→，这就是电磁场的角动量守恒定律。

6．一根长l 为的细金属棒沿铅直地竖立，然后用手轻轻地向东推一下使它向东倒下，求它倒到水平位置那一瞬间棒端的电势差（设地磁水平分量为H ）.解 设棒地质量为m ，棒绕端点转动的转动惯量是231ml I =，g 为重力加速度，当金属棒竖直地倒下接触地面时，其角速度由下式给出，2212l mgI =ω 显然 lg 3=ω分析 本题实质上是导体在不变磁场中的运动问题，导体中的感应现象是由于导体中自由电子受B v F ⨯=e 作用而产生的，在随导体运动的观察者看来，F 是作用在静止电荷上的电力，故可将F 视为一种等效电场的作用，即B v E ⨯=，∴棒倒在水平位置两端电势差为H gl H gl xdx H Hdx x d d ll 030003002343)(μμωμμωφ=⎰⎰===⋅⎰⎰⨯=⋅=l B v l E7．有一放射性材料制成的小球，总电荷为Q ，由于小球周围形成沿径向流出的电流，因而Q 逐渐减小，假定电流的大小在各不同方向上都相同，求 （1）电流密度J （2）位移电流密度D J（3）证明磁感应强度0=B 解（1）由电荷守恒定律⎰--=⋅=J r d dtdQ24πs J 故 3r dt dQ rJ π41-=3r Qr E 04πε=3D r dt dQ t rE J πε410=∂∂= （3） 0)(0=+=⨯∇D J J μB而 0=⋅∇B 故 0=B8．在点电荷 q 的电场中，距离它为 d 的地方有一电偶极子，其偶极矩为P ，求下列两种情况下，此偶极子所受的力F 和力矩N.（1）偶极子的偶极矩P 沿点电荷电场的方向， （2）偶极子的偶极矩 P 垂直于点电荷的电场.解 方法一：)3+-++-+-=+=r r qe(3r r F F F∵ 2l d r +=+ 2ld r +=- （ -+r r , 分别为 q 到e +和e - 的距离）∴321211d d r d l l d ⋅-≈+-=+32211d d 1r d l l d ⋅+≈-=-最后得53333d d r r ddl l r r ⋅-=--+-+ ∴ 53333d q d q d e q d qe 5ddp p d l d l F ⋅-=⋅-=3dq pd F d N ⨯=⨯=（1）当 p 沿d 方向：（设 d e 是 d 方向的单位矢量）d d 52d qpd p 3qd d p qe e F 33-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-= ；N =0（2）当p ⊥d 方向时3d q pF = ; n N 2d qp = (n 为垂直 d 、p 的单位矢量)。