ε
0
)∇
⋅
[
(r
3− 3εr
r13
3
)
ρf
rr] =
−ε
−ε0 3ε
ρ f ∇ ⋅ (rr
−
r13 r3
rr)
=
−ε
−ε0 3ε
ρ
f
(3 − 0)
=
−(ε
− ε
ε
0
)
ρ
f
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n 从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
-5-
电动力学习题解答
4π 3ε 0
(r23
−
r13 )ρ
f
, (r
>
r2 )
∴
Er
=
(r23 − r13 ) 3ε 0r 3
ρ
f
rr, (r
>
r2 )
r < r1时 Er 0
2) Pr
ε 0 χ e Er
= ε0
ε
−ε0 ε0
Er
=
(ε
− ε 0 )Er
∴ρP
=
−∇ ⋅ Pr
=
−(ε
− ε 0 )∇ ⋅ Er
=
−(ε
−
源点指向场点
1
证明下列结果
并体会对源变数求微商 (∇'
=
erx
∂ ∂x '
+ ery
∂ ∂y '
+ erz
∂ ∂z
'
)
与对场变数求
微商 (∇
=
erx
∂ ∂x
+
ery
∂ ∂y
+
erz
∂ ) 的关系 ∂z
∇r
= −∇'r
=
rr r
,
∇
1 r
= −∇'
1 r
rr = − r3
,
∇
×
rr r3
=
0,
∇
⋅
rr r3
证明
∇×
Av
=
∇
×
(
mv
× Rv) R3
=
−∇ ×[mv × (∇
1 R
)]
=
(∇
⋅
mv )∇
1 r
+
(mv ⋅ ∇)∇
1 r
− [∇ ⋅ (∇
1 r
)]mv
− [(∇
1r ) ⋅ ∇]mv
-4-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
=
(mv
⋅ ∇)∇
1 r
, (r
≠
0)
∇ϕ
=
∇(
mv ⋅ Rv R3
Bv
=
µj f
(r 2 − r12 ) 2r
=
µ(r 2 − r12 ) 2r 2
rj f
× rr
当 r>r2 时 2πrH = πj f (r22 − r12 )
Br
=
µ0 (r22 − r12 ) 2r 2
rj f
× rr
JM
= ∇ × Mr
=
∇
×
(χ
M
Hr
)
=
∇
×
(
µ
− µ0 µ0
)
)Hr
=( µ µ0
第一章 电磁现象的普遍规律
=
(
dAr z du
∂u ∂y
−
dAr y du
∂u ∂z
)erx
+
(
dAr x du
∂u ∂z
−
dAr z du
∂u ∂x
)ery
+
(
dAr y du
∂u ∂x
−
dAr x du
∂u ∂y
)erz
= ∇u ×
dAr du
3. 设 r = (x − x' )2 + ( y − y ' )2 + (z − z ' )2 为源点 x' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从
−
x' )evx
+
(y
−
y' )ery
+
(z
−
z' )evz
]
=
(ax
∂ ∂x
+
ay
∂ ∂y
+
az
∂ ∂z
)[(x
−
x' )evx
+
(y
−
y' )ery
+ (z
−
z')evz ]
= axevx + a y evy + az evz = av ∇(av ⋅ rv) = av × (∇ × rv) + (av ⋅ ∇)rv + rr × (∇ × av) + (rv ⋅ ∇) ⋅ av
fy
−
∂ ∂y
f x )kr]dV
∫=
[
∂ ∂x
(
f
y
kr
−
fz
rj ) +
∂ ∂y
( f z ir
−
f x kr) +
∂ ∂z
( f x rj
−
f yir)]dV
∫ ∫ 又
dSr × fr =
S
[(
S
f z dS y
−
f y dS z )ir + ( f x dS z −
f z dS x ) rj + ( f y dS x − f x dS y )kr]
-2-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
=
[
∂ ∂x
sin(kr
⋅
rr)erx
+
∂ ∂y
sin(kr
⋅ rr)ery
+
∂ ∂z
sin(kr
⋅ rr)erz ]E0
= cos(kr ⋅ rr)(k xerx + k yery + k zerz )Er0 = cos(kr ⋅ rr)(kr ⋅ Er)
∫ ∫ ∇ ⋅ HrdV = dSr ⋅ Hr ,高斯定理
V
S
2)由斯托克斯公式有
∫l fr ⋅ dlr = ∫S ∇ × fr ⋅ dSr
∫ ∫ fr ⋅ dlr =
l
l ( f x dlx + f y dl y +
f z dlz )
则证毕
∫ ∫ ∇ × fr ⋅ dSr = S
(∂ S ∂y
fz
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式 ∇( Ar ⋅ Br) = Br × (∇ × Ar) + (Br ⋅ ∇) Ar + Ar × (∇ × Br) + ( Ar ⋅ ∇)Br
Ar ×
(∇ ×
Ar)
=
1 2
∇Ar 2
−
( Ar ⋅ ∇) Ar
⋅
∂u ∂z
=
∇u ⋅
dAr du
3
erx
∇ × Ar(u) =
∂ Ar∂xx(u )
ery ∂
Ar∂y (yu)
erz ∂
Ar∂z (zu)
=
( ∂Arz ∂y
−
∂Ar y ∂z
)erx
+
(
∂Ar x ∂z
−
∂Ar z ∂x
)ery
+
(
∂Ar y ∂x
−
∂Ar x ∂y
)erz
=
-1-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
σP
=
P1n
= (ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r2
=
(1
−
ε0 ε
)
r23 − r13 3r23
ρf
考虑到内球壳时 r r2
σP
=
−(ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r1
=0
8 内外半径分别为 r1 和 r2 的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 Jf 导体
的磁导率为 µ 求磁感应强度和磁化电流
解
∫ ∫ l Hr ⋅ dlr = I f
+
d dt
Dr
S
⋅
dSr
=I
f
当 r < r1时, I f = 0,故Hr = Br = 0
∫ ∫ 当 r2>r>r1 时
Hr ⋅ dlr = 2πrH =
l
S rj f
⋅ dSr =
j f π (r 2 − r12 )
−
∂ ∂z
fy
)dS x
+
(
∂ ∂z
fx
−
∂ ∂x
f z )dS y
+
(
∂ ∂x
fy
−
∂ ∂y
f x )dS z
∫ ∫ 而
dlrφ =
l
l (φi dlx + φ j dl y + φk dlz )
-3-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
∫ ∫ dSr × ∇φ = S