秘密★启用前 【考试时间：7月4日15:00—17:00】2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）本试卷共4页，共23题（含选考题），全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷 选择题（共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位，复数212i z i+=-，则复数z ＝( )A ．1B ．1-C ．i -D ．i 2.若集合{}1,0,1A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则AB ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} 3.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数1f x y +的定义域是( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．(]1,1- 4.“若x a =或x b =，则()20x a b x ab -++=”的否命题是( )A ．若x a ≠且x b ≠，则()20x a b x ab -++=. B ．若x a ≠且x b ≠，则()20x a b x ab -++≠.C ．若x a =且x b =，则()20x a b x ab -++≠. D ．若x a =或x b =，则()20x a b x ab -++≠.5.条件:2p a ≤，条件():20q a a -≤，则p ⌝是q ⌝的( )A ．充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则()p B A ＝( )A ．18 B ．12 C ．25 D ．147.已知幂函数()2mf x x-=是定义在区间23,m m m ⎡⎤---⎣⎦上的奇函数，则下列成立的是( )A ．()()0f m f <B ．()()0f m f =C ．()()0f m f >D ．()f m 与()0f 大小不确定 8.从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有( ) A ．94B ．180C ．240D ．2869.（原创）定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的实数x 都有)1()1(+=-x f x f ，且2)1(=-f ，(0)1f =-.则()()(1)(2)(3)(2017)20182019f f f f f f ++++++的值为( )A ．2018B ．1011C ．1010D ．201910.（原创）函数)(x f 是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且满足0)(2)(>+'x f x f x ，则不等式2(2018)(2018)16(4)x f x f ++<的解集为( )A ．{}2017x x >-B ．{}2017x x <- C ．{}20182014x x -<<- D ．{}20180x x -<<11.甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打12局,乙共打21局,而丙共当裁判8局.那么整个比赛的第10局的输方( )A ．必是甲B ．必是乙C ．必是丙D ．不能确定12.设函数()3235f x x x ax a =---+，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是( )1A.0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13B.,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15C.,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ 53D.,42⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量，若，则_________14.二项式()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则实数a ＝________.(用数字填写答案)15.定义在R 上的单调函数()f x ，满足对x R ∀∈,都有()()26xff x -=，则()3f =16.设函数()22,0l o g ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的()2,y ∈+∞，都存在唯一的0x R ∈，满足()()2202f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是()21,N ξσ~(3)0.2P ξ>=()1P ξ≥-=三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）（原创）第21届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球 盛会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注” 两类，已知这200名学生中男生比女生多20人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比 为4:3，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少5人．(1).根据题意建立22⨯列联表，判断是否有%90的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？(2).该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与世界杯足球赛宣传活动，求这2人中至少有一个男生的概率． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，18. （本小题满分12分）今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的网红景点，把重庆推上全国旅游人气榜的新高.外地客人小胖准备游览上面这4个景点，他游览每一个景台的概率都是23，且他是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． (1).记“函数()cos 1f x x x ξ=-+是实数集R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率． (2).求ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6. D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE //BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)． (1).求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2).若M 是A 1D 的中点，求直线CM 与平面A 1BE 所成角的大小.20. （本小题满分12分）（原创）已知椭圆2221(0)x y m m+=>，如图所示，直线l 过点(),0A m -和点(),B m tm ，（0t >），直线l 交此椭圆于M ，直线MO 交椭圆于N .(1).若此椭圆的离心率与双曲线2213y x -=的离心率互为倒数,求实数m 的值； (2).当[]1,1,2m t >∈，m 为定值时，求AMN ∆面积S 的最大值.21. （本小题满分12分）(1).求证:当实数1x ≥时,()()1ln 21x x x +≥-; (2).已知()()1ln ,f x x g x ax x=-=,如果()(),f x g x 的图像有两个不同的交点()()1122,,,A x y B x y . 求证:2122x x e ⋅>. ( 参考数据:1.41,ln 20.69,2.72,e e ≈≈为自然对数的底数）（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域,标清题号.如果多做,则按所做第一题计分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线． (1).写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2).设点，直线与曲线相交于，两点，且1PA PB ⋅=，求实数的值．23. （本小题满分10分）关于x 的不等式21x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）． (1).求整数m 的值；(2).已知,,a b c R ∈，若4444m a b c ++=，求222a b c ++的最大值．xOy C αO x l sin cos 0m θρθ-+=C l (),0P m l C A B m2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学参考答案（理科）一.选择题.(每小题5分,共60分)三.解答题.(共70分)K 2=2517590110)107515100(2002⨯⨯⨯⨯-⨯=2.597＜2.706，所以没有90%（Ⅱ）由题意得男生抽4人，女生3人，2327617C p C =-= .18.(12分)解：（1）因为()cos 5f x x x ξ=-+在R 上的偶函数，所以0ξ=；从而()2224228013327P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）显然ξ的可能取值为0，2，4．()2224228013327P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()13311344222240211333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()442217413381P ξ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 所以ξ的分布列为:()E ξ=0×27+2×81+4×81=81.19.(12分(1)证明 ∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC ， 又A 1C ⊂平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE . (2)解 如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.∵CM →＝(0,1，3)， ∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝48×4＝22. ∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.20.(12分)解（1）双曲线2213y x -=的离心率是2,所以2221(0)x y m m +=>的离心率是12,所以有22114m m -=或21114m -=，所以3m =或2m =. （2）易得l 的方程为()2t y x m =+…1分 由222()21t y x m x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得（m 2t 2+4）y 2－4mty =0…2分 解得y=0或2244mt y m t =+ 即点M 的纵坐标2244Mmt y m t =+， S=S △AMN =2S △AOM =|OA|·y M =22244m t m t +，所以2222244(0)44m t m S t m t m tt==>++令22244,V m t V mt t '=+=-+,由20V t m '=⇒=, 当2t m>时，20;0,0V t V m ''><<<当时, 若1<m ≤2，则2[1,2)m ∈，故当2t m=时，S max =m;若m ＞2，则2240 1.V m t m t <<=+在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,2max 244m S m=+综上可得2max2(12)4(2)4m m S m m m <≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩. 21.(12分)21.(12分)证明：（1）设()()21ln 1x h x x x -=-+，()1x ≥，则()()()22101x h x x x -'=≥+，所以()h x 在[)1,+∞单调递增，所以()()10h x h ≥=，所以()()1ln 21x x x +≥-.(2)由题意1112221ln 1ln x ax x x axx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,相加有()()12121212ln x x x x a x x x x +-=+,①相减有()21221112ln x x x a x x x x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭,从而212112ln1x x a x x x x =+-，代入①有 ()()21211212122112ln 1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭，即()()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭， 不妨设120x x <<，则211x x >，由（1）有()()1212212122112ln ln 2x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+-=> ⎪-⎝⎭. 又()()()12121212122ln ln 2lnx x x x x x x x +-<=所以2ln2>,即ln 1,>()2ln ,G x x x =-设()2120,G x x x '=+>则()2ln ,G x x x =-()0,+∞在单调递增，1ln 210.831,2=+≈<又2121,2.Gx x e ∴=>>>∴> 选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22.（1故曲线的普通方程为．直线． （2）直线为参数）． 设，两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可以得到， 所以，解得或．23.【解答】（1）由关于x 的不等式21x m -≤，可得1122m m x -+≤≤， ∵整数解有且仅有一个值为3，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤-<42133212m m ，即57m <<，又m 为整数，则6m =．C ()2212x y -+=l )x m y x m -+⇒=-l t A B 1t 2t l C ()2212x y -+=2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=()212121PA PB t t m ==--=2211m m ⇒--=1m =0m =2m =（2）由2223 2a b c++=,由柯西不等式有，当且仅当时，等号成立，所以a2+b2+c2的最大值为322．。