重庆一中初 2019 级 18—19 学年度下期半期考试数学试题（全卷共四个大题，满分 150 分，测试时间 120 分钟）参考公式 ：抛物线 y ax 2bx c a 0 的顶点坐标为 、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题 4分，共 48分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A 、B 、 C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接填在 答题卡 中对应 的方框内 .2. 某零件模型可看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体俯视图是（第 2 题图b ,4ac b 22a 4a1. 3 的倒数是（ ▲）A. 3B. 3C. 13D.C.3. 计算（ 2x 2）3的结果为（ ▲） A. 6x5B. 6x 5C. 8x 6D.8x64. 用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖， 白色瓷砖共 5 块；第②幅图中黑、白色瓷砖共 案中黑、白色瓷砖共（ ▲ ）块按下列规律铺成一列图案， 12 块；第③幅图中黑、白色瓷砖共其中， 第①幅图中黑、①A. 45B. 495. 抛物线 y 2x 24x 5 的顶点坐标为（②C. D. 64▲）A.（1，3）B.（ 1， 3）C.（1， 5）D.（ 1， 5 ）B.6. 估算18 24 31的运算结果在（A. 5和6之间B. 6和 7 之间7.如图所示是一个运算程序，若输入C. 7 和 8 之间D. 8和 9 2，则输出的结果▲）C. 7D. 9）8. 下列命题是真命题的是（ ▲ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的矩形为正方形C. 对角线互相垂直的四边形为菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形为正方形9. 如图， ABC 中， C 90 ,AC 与圆 O 相切于点 D ， AB 经过圆心 O ，且与圆交于点 E ，连接 BD .若 AC 3CD 3 3 ， 则 BD 的长为（ ▲ ）10. 重庆一中寄宿学校正校门上方的石雕题写着 “求知求真” 的校训， 引领着学校的前进和发展 .“ 求 知求真”校训背后是节节高升的“百步梯” .如图，石雕的上边缘点 A 距地面高度为 AB ,点 B 距“百步梯”底端 C 的距离 BC 10 米，“百步梯”底端 C 与顶端 D 的连线可视作坡度为 1:0.75的斜坡, 且 CD 45米.若 A 、B 、C 、D 四点在同一平面内， 且在点 D 看石雕上边缘点 A 的俯角为 24 ，则 校训石雕上边缘距地面的高度 AB 约为（ ▲ ） （参考数据： sin24 0.41, cos24 0.91, tan 24 0.45 ）A. 16.65B. 17.35C.18.65D.19.3511. 如图，平行四边形 ABCO 的顶点 B 在双曲线 y 6上，顶点kC 在双曲线 y 上， BC 中点x x恰好落在 y 轴上，已知 ，则 k 的值为 （ ▲ ）A. 8B. 6C. 4D. 2A. 3B.2 3C. 3D. 2第9 题图11 题图第 7 题第 10 题、填空（本大题共 6个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上13. 计算：11 3 tan60 ▲ .214. 周末李老师去逛街，发现某商场消费满 1000 元就能获得一次抽奖机会，李老师消费1200 元后来到抽奖台，台上放着一个不透明抽奖箱，里面放有规格完全相同的四个小球，球上分别标有 1，2， 3，4 四个数字，主持人让李老师连续不放回抽两次，每次抽取一个小球，如果两个球上的数字均为奇数则可中奖，则李老师中奖的概率是▲ .15. 如图，矩形ABCD中，AB 2，BC 2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是▲ .316. 如图，在ABC中，AB AC 5，tanA ，点D是AB边上一点，连接CD，将BCD4沿着CD翻折得B1CD ，DB1 AC 且交于点E，则DE ▲17.阳春三月，某中学举行了趣味运动会，在 50 米托盘乒乓球接力项目中（即乒乓球放入托盘内，参赛队员用手托住托盘运送乒乓球），初一（1）班和初一（ 2）班同台竞技，某时刻， 1 班的小敏和 2 班的小文分别位于 50 米赛道的起点A 地和终点B 地，他们同时出发，相向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小敏不慎将乒乓球落在C 地（A、B、C 在同一直线上且乒乓球落在C地后不再移动），第 6 秒时小敏才发现并迅速掉头以原速去捡乒乓球，捡到球后，小敏将速度提升到小文速度的两倍迅速往B 地匀速跑去，小敏掉头和捡球的时间忽略不计，如图是两人之间的距离y（米）与小敏出发的时间x（秒）之间的函数图像，则当小敏到达B 地时，小文离A 地还有▲ 米 .18.菜市场内某摊位上售卖A、B、C、D四种蔬菜，其中A、B两种蔬菜的单价相同，D2a 3 x12. 若关于x 的分式方程2a 3 3 x的解为整数，且关于x的不等式组为正数，则符合条件的整数a 有（▲ ）个 .A. 2 个B. 3 个C. 4 个x4 x3322(x a) x 6D. 5个的解种蔬菜的单价是C种蔬菜单价的 7 倍，上午时段，A、C两种蔬菜的销量相同，B种蔬菜的销量是D种蔬菜第 3 页共12 页销量的 7倍，结果上午时段A、B 两种蔬菜的总销售额比C、D两种蔬菜的总销售额多 126 元，且四种蔬菜上午时段的单价与销量均为正整数. 到了下午的时候，由于D 种蔬菜新鲜度下降，摊主便将D 种蔬菜打八折售卖，其他三种蔬菜单价不变，结果下午时段除了B种蔬菜销量下降了20% ，其他几种蔬菜的销量跟上午一样，若A种蔬菜与C种蔬菜的单价之差超过 6 元但不超过 13元，B种蔬菜和D种蔬菜上午时段的单价之和不超过35 元，则下午时段四种蔬菜总销售额最多为▲ 元.三、解答题：（本大题共 7个小题，每小题 10分，共 70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19.计算：（1） a a 2b a b2b2x 38 x 1（ 2）x 3 x 320. 已知：在ABC中，BA BC，AD BC于D，BE平分ABC交AD于E，EF // AC交21. 重庆一中初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，经研究，为我校每一个初中生推荐一本中学生素质教育必读书《数学的奥秘》，这本书就是专门为好奇的中学生准备的 .这本书不但给予我们知识，解答生活中的疑惑，更重要的是培养我们细致观察、认真思考、勤于动手的能力 .经过一学期的阅读和学习，为了了解学生阅读效果，我们从初一、初二的学生中随机各选 20名，对《数学的奥秘》此书阅读效果做测试（此次测验满分：100 分）.通过测试，我们收集到 20 名学生得分的数据如下：初一96 100 89 95 62 75 93 86 86 93 95 95 88 94 95 68 92 80 78 90初二100 98 96 95 94 92 92 92 92 92 86 84 83 82 78 78 74 64 60 92BC于F ，若ABC 56 ；求：（1）AEB 的度数；2）DEF 的度数.初一87. 5 91 m 96. 15初二86. 2 n 92 113. 06某同学将初一学生得分按分数段（60 x 70,70 x 80,80 x 90,90 x 100 ），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如下图（均不完整）请完成下列问题：（ 1）初一学生得分的众数 m= ；初二学生得分的中位数 n= ；（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，70 x<80 所对用的圆心角为度；（ 3）经过分析学生得分相对稳定（填“初一”或“初二”）；（ 4）你认为哪个年级阅读效果更好，请说明理由.22.在矩形ABCD中，AB=4cm ，AD =2cm ，点Q为AB的中点，点P为线段CD 上一点（包含端点），设：DPx ，PQ y ；某同学开始探究x、y 两变量之间的函数关系，下面是该同学探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 2.8 2.5 2.2 2.1 a= 2.1 2.2 b= 2.8（说明：表格中值保留一位小数）（2）此函数自变量x 的取值范围是建立平面直角坐标系，在自变量取值范围内，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）写出此函数的一条性质；（4）结合画出的函数图象，解决问题：若y=2x ，则 x 的值约为 cm .（结果保留一位小数）第 9 页 共 12 页23. 中国重庆国际汽车工业展（简称：重庆车展），创立于 1998 年，是唯一由重庆市政府主办的汽车类国际大展，是中西部地区最具规模与影响力的汽车饕餮盛宴 .今年车展于 4 月 13-14 日在陈家坪展览中心顺利举行。

某品牌汽车有甲、乙两种车型，若每辆甲种车型生产成本价比每辆乙种车型的 生产成本价少 5 万元，且用 90 万元生产甲种车型的数量与 135 万元生产乙种车型的数量相同 . （ 1）求每辆甲种车型、乙种车型的生产成本价为多少万元 .（ 2）本次车展该品牌出售甲种车型、乙种车型数量之比为 2：1，生产成本共 350 万；在销售中，15甲种车型的售价为成本价提高 a%后降价 1万元，乙种车型的售价为成本价提高 5a%后打 a折；其销售额为 468 万元，求 a 的值.24. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 连接对角线 AC ，AE BC 于点 E ， F 为EA 延长线上一 点，且 BE EF ，连接 CF .（1）如图 1，若 AB AC ，AB 4， AC 3，求 AF 的长度； （2）如图 2，若 CD CF ，求证： AD 2AC AF .第 24 题图第 24 题图 225. 裂项法，这是分解与组合思想在一组数求和中的应用。

将这组数中的每项分解，然后重新组合， 使之能消去一部分，最终达到求和的目的。

例如：1 1 1 n n 1 n n 1 1 1 1+ + ⋯⋯ + 1 2 2 3 9 101 1 1 1 1 1⋯⋯+1 22 39 101 111⋯⋯+111 223⋯⋯+9109 10试判断： A B 与 C 的大小 .若以上例子分母为 nn 1 n 2 也能用此方法列项，即：11n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2其实，整式也能进行裂项求和，例：11 1 1 123 0 1 2 12 2 1 234 1 2 33 1根据以上材料，回答下列问题：（注：此题 n 为正整数）1）计算：1+1+ 1 +2）裂项整式： n n 1 3）若 A=1 2+2 3+⋯⋯ +n n 1B=111223，C 34n四、解答题：（本大题共 1个小题，每小题 8分，共 8分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．1 2 326．已知二次函数y x2 x 4与x轴交于点A、B（A在B的左侧） ,与y轴交于点C.连4 2.接AC、BC .（1）如图 1，点P 是直线BC上方抛物线上一点，当PBC面积最大时，在线段BC上取一点D ，1CD CB,点M、N 分别为x、y轴上的动点，连接ND.将CDN 沿ND翻折至C'ND ,求4PM MC '的最小值 .2）如图 2，点C关于x轴的对称点为点E ,将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的抛物线y',使得y'交x轴于点H、B（H 在B的左侧）.将CHB绕点H 顺时针旋转90 至C'HB'.抛物线y'的对称轴上有一动点S ，坐标系内是否存在一点K ，使得以O、C'、K、S 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由 .重庆一中初 2019 级 18—19 学年度下期半期考试数学试题参考答案、选择题（每题 4分，共 48 分） 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 D A D C B CBBBDCA、填空题：（每题 4分，共 24 分）13 141531 221621617 18 3 12215.82三、解答题（每题 10 分，共 70分）2219. （1） a （a 2b ） （a b ）2b 2解：原式 =a2 2ab a2 2ab b2 b2=2a 2） x38 x3x1 x3解：原式 =（x 1）（x 1）x 3x3 3分 =x 15分20. （ 1） ∵AD ^ BC , \D ADB= 9011∵BE 平分 DABC, \D ABE= DDBE = DABC= ′56°= 28° 22 \D AEB= D DBE+ DADB = 28°+90°= 118° ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分18 0 CBA 18 0 56 （2）∵BA= BC, BCA BAC 6222在 RtDADC 中， DDAC = 90°-DC = 90°-62°= 28° ∵EF / /AC, \D DEF = DDAC= 28° ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21. （ 1）m=95；⋯⋯⋯⋯ 1 分 n=92；分（2）5 人； ⋯⋯⋯⋯ 4 分 圆心角为 54 度； 3）经过分析 初一 学生得分相对稳定4）初一，平均分较高（回答合理即3分105分22. （1）a= 2 ；b= 2.5 2分2）此函数自变量取值范围是0 x 4 ；6分5∴甲种车型、乙种车型数量分别为 20 辆，10 辆；15 a10 1+ a% 1 20 15 1 5a% 10 468 ⋯⋯⋯⋯ 8 分2∴ a 240a 384 0 ∴ a 8;a 48（ 舍去 ） 故： a 的值为 8. 换元法：2625t 2250t 24 024.解：（ 1）在 Rt ABC 中， BAC 90 ,AB 4,AC 3BC AB 2 AC 2511S ABC 12BC AE 21AB ACBE AB 2 AE2 1563）写出此函数的一条性质； 图像关于直线 x 2 对称；（回答合理即可得分）8分（4） x 的值约为 1.1 cm .（结果保留一位小 数） ⋯⋯⋯⋯ 10 分23.（ 1）设甲种车型生产成本价为 x 万元，则乙种车型的 生产成本价 x 5 万元：90 135⋯⋯⋯⋯ 2 分x x 5x 10经检验 x 10为原方程的解 ⋯⋯⋯⋯ 3 分故：甲种车型生产成本价为 10 万元，则乙种车型的生产1 0 2m 1m5 35 m 106分10 分t1225,t 21225（舍）1分AE12 52分在 Rt ABE 中， AEB 90 ,AB 4,AE12416EF BE5AF EF AE 52）法一：作 CG AC 交 AD 于点 GABCD 是平行四边形 B D , 则 B F 在 ABE 和 CFE 中，BF BE FEAEB CEF 90ABECFE ( ASA)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分AB CF CD CFACF FCG 90 GCD FCG 90ACF GCD 在 ACF 和 GCD 中， F D AC CGCF CD (或 ACF GCD ) ACF GCD CF CDACFGCD ( ASA)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分AF GD ， AC GCACG 是等腰直角三角形AG 2ACAD AG GD 2AC AF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分3分4分CD CF D DKC 90 F AKF 90且 AKF DKCFD法二：作AC AH 交BC 于点H 先证ABE CFE再证ABH CFA再证ACH 是等腰直角三角形1∵CD = CB, D(2,3)4作 P 关于 x 轴的对称点 P'(4,- 6),当 P',C',D 三点共线时， (PM + MC')min = (P' M + MC')min = P' D - C'D=P'D- CD= 85- 52) K 1(-1, 39), K 2(- 1,- 39),K 3(11,2+ 15),K 4(11,2- 15),K 5(1,7)法三：作 CM AC 交 AE 的延长线于点 M 先证 ABE CFE 再证 MCF ACD再证 ACM 是等腰直角三角形25. （1）计算： 1 1 1 + +⋯⋯ + 1 2 3 2 3 4 5 6 72）裂项整式：n n 1 n 2 n 1 n n 1 ；113) A n n 1 n+2 ，B=⋯⋯⋯⋯ 6 分3 n 11 1 4 A B C n n 1 n2 n3 n 1 3n n 2 =38分当n 1时， A B C 0, A B C 当n 2时， A B C=0, A B=C 当 n 2时，A B C 0, A B C 10 分四、解答题（共 8 分）26. (1) A(- 2,0), B(8,0), C(0,4) 1yBCx 42过点 P 作 y 轴平行线，交线段 BC 于点 Q ，设 P （m,- 1m 2+ 3m+ 424),Q(m,- 12m+4)1 1 2SDPBC = S DCPQ + S DBPQ = 2(xB - xC )PQ = 4PQ= -4m +2m1∵0<m<8,a=- 41<0, P(4,6)2分 4分8分4分。