重庆一中初2019级18—19学年度下期半期考试数 学 试 题（全卷共四个大题，满分150分，测试时间120分钟）参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的方框内.1. 3-的倒数是（ ▲ ）A. 3B. 3-C.13 D. -132. 某零件模型可看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体俯视图是（ ▲ ）A. B. C. D ．3. 计算322）（x -的结果为（ ▲ ） A. 56x B. 56x - C. 68x D. 68x -4. 用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块；第③幅图中黑、白色瓷砖共21块.则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（ ▲ ）块① ② ③A. 45B. 49C. 60D. 64 5. 抛物线5422++=x x y 的顶点坐标为（ ▲ ）A.（1，3）B.（1-，3）C.（1，5）D.（1-，5） 6. 估算312418⨯+的运算结果在（ ▲ ） A. 5和6之间 B. 6和7 之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 如图所示是一个运算程序，若输入的值为2-，则输出的结果为（ ▲ ） A.3 B. 5 C. 7 D. 9 第2题图……A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形为正方形C. 对角线互相垂直的四边形为菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形为正方形9. 如图，ABC ∆中，︒=∠90C ,AC 与圆O 相切于点D ，AB 经过圆心O ，且与圆交于点E ，连接BD .若333==CD AC ，则BD 的长为（ ▲ ）A. 3B.32C.3D. 210. 重庆一中寄宿学校正校门上方的石雕题写着“求知求真”的校训，引领着学校的前进和发展.“求知求真”校训背后是节节高升的“百步梯”.如图，石雕的上边缘点A 距地面高度为AB ,点B 距“百步梯”底端C 的距离=BC 10米，“百步梯”底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡,且45=CD 米.若D C B A 、、、四点在同一平面内，且在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为︒24，则校训石雕上边缘距地面的高度AB 约为（ ▲ ）（参考数据：45.024tan ,91.024cos ,41.024sin ≈︒≈︒≈︒）A. 16.65B. 17.35C.18.65D.19.3511. 如图，平行四边形ABCO 的顶点B 在双曲线x y 6=上，顶点C 在双曲线xky =上，BC 中点P 恰好落在y 轴上，已知，则k 的值为（ ▲ ）A.8-B.6-C.4-D.2-第7题图第9题图11题图第10题图第11题图12. 若关于x 的分式方程x x x a --=--13312的解为整数，且关于x 的不等式组431322()6x x x a x +-⎧->⎪⎨⎪->+⎩的解为正数，则符合条件的整数a 有（ ▲ ）个.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13. 计算：2113tan 602-⎛⎫-+--︒= ⎪⎝⎭▲ .14. 周末李老师去逛街，发现某商场消费满1000元就能获得一次抽奖机会，李老师消费1200元后来到抽奖台，台上放着一个不透明抽奖箱，里面放有规格完全相同的四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，主持人让李老师连续不放回抽两次，每次抽取一个小球，如果两个球上的数字均为奇数则可中奖，则李老师中奖的概率是 ▲ . 15. 如图，矩形ABCD 中，2=AB ，2=BC ，以B 为圆心，BC 为半径画弧，交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积是 ▲ .16. 如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，43tan =A ，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将BCD ∆沿着CD 翻折得CD B 1∆，AC DB ⊥1且交于点E ，则=DE ▲ .17. 阳春三月，某中学举行了趣味运动会，在50米托盘乒乓球接力项目中（即乒乓球放入托盘内，参赛队员用手托住托盘运送乒乓球），初一（1）班和初一（2）班同台竞技，某时刻，1班的小敏和2班的小文分别位于50米赛道的起点A 地和终点B 地，他们同时出发，相向而行，分别以各自的速度匀速直线奔跑，过程中的某时刻，小敏不慎将乒乓球落在C 地（C B A 、、在同一直线上且乒乓球落在C 地后不再移动），第6秒时小敏才发现并迅速掉头以原速去捡乒乓球，捡到球后，小敏将速度提升到小文速度的两倍迅速往B 地匀速跑去，小敏掉头和捡球的时间忽略不计，如图是两人之间的距离y （米）与小敏出发的时间x （秒）之间的函数图像，则当小敏到达B 地时，小文离A 地还有 ▲ 米.18. 菜市场内某摊位上售卖D C B A 、、、四种蔬菜，其中B A 、两种蔬菜的单价相同，D 种蔬菜的第15题图 第16题图 第17题图四种蔬菜上午时段的单价与销量均为正整数.到了下午的时候，由于D 种蔬菜新鲜度下降，摊主便将D 种蔬菜打八折售卖，其他三种蔬菜单价不变，结果下午时段除了B 种蔬菜销量下降了20%，其他几种蔬菜的销量跟上午一样，若A 种蔬菜与C 种蔬菜的单价之差超过6元但不超过13元，B 种蔬菜和D 种蔬菜上午时段的单价之和不超过35元，则下午时段四种蔬菜总销售额最多为 ▲ 元.三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19.计算：（1）()()222a a b a b b ++-- （2）81333x x x x +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭20. 已知：在ABC ∆中，BA BC =，AD BC ⊥于D ，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，EF //AC 交BC 于F ，若56ABC ∠=︒；求： （1）AEB ∠的度数； （2）DEF ∠的度数.21. 重庆一中初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，经研究，为我校每一个初中生推荐一本中学生素质教育必读书《数学的奥秘》，这本书就是专门为好奇的中学生准备的.这本书不但给予我们知识，解答生活中的疑惑，更重要的是培养我们细致观察、认真思考、勤于动手的能力.经过一学期的阅读和学习，为了了解学生阅读效果，我们从初一、初二的学生中随机各选20名，对《数学的奥秘》此书阅读效果做测试（此次测验满分：100分）.通过测试，我们收集到20名学生得分的数据如下：初一 96 100 89 95 62 75 93 86 86 93 95958894956892807890初二100 98 96 95 94 92 92 92 92 92 86848382787874646092通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表：平均数 中位数 众数 方差 初一 87.5 91 m 96.15 第20题图某同学将初一学生得分按分数段（6070,7080,8090,90100x x x x ≤<≤<≤<≤≤），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如下图（均不完整）.请完成下列问题：（1）初一学生得分的众数m= ；初二学生得分的中位数n= ；（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，70x<80≤所对用的圆心角为 度； （3）经过分析 学生得分相对稳定（填“初一”或“初二”）； （4）你认为哪个年级阅读效果更好，请说明理由.22. 在矩形ABCD 中，=4cm AB ，=2cm AD ，点Q 为AB 的中点，点P 为线段CD 上一点（包含端点），设：DP x =，PQ y =；某同学开始探究x y 、两变量之间的函数关系，下面是该同学探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值；/x cm 0 0.5 11.5 22.5 33.54 /y cm2.8 2.5 2.22.1=a2.1 2.2=b2.8（说明：表格中y 值保留一位小数）（2）此函数自变量x 的取值范围是 ；建立平面直角坐标系，在自变量取值范围内，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）写出此函数的一条性质；（4）结合画出的函数图象，解决问题：若=2y x ，则x 的值约为 cm .（结果保留一位小数）23.中国重庆国际汽车工业展（简称：重庆车展），创立于1998年，是唯一由重庆市政府主办的汽车类国际大展，是中西部地区最具规模与影响力的汽车饕餮盛宴.今年车展于4月13-14日在陈家坪展览中心顺利举行。

某品牌汽车有甲、乙两种车型，若每辆甲种车型生产成本价比每辆乙种车型的生产成本价少5万元，且用90万元生产甲种车型的数量与135万元生产乙种车型的数量相同. （1）求每辆甲种车型、乙种车型的生产成本价为多少万元.（2）本次车展该品牌出售甲种车型、乙种车型数量之比为2：1，生产成本共350万；在销售中，甲种车型的售价为成本价提高15%2a 后降价1万元，乙种车型的售价为成本价提高5%a 后打a 折；其销售额为468万元，求a 的值.24.如图，四边形ABCD 是平行四边形，连接对角线AC ，BC AE ⊥于点E ，F 为EA 延长线上一点，且EF BE =，连接CF .（1）如图1，若AC AB ⊥，4=AB ，3=AC ，求AF 的长度； （2）如图2，若CF CD ⊥，求证：AF AC AD +=2.第24题图1第24题图225.裂项法，这是分解与组合思想在一组数求和中的应用。

将这组数中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一部分，最终达到求和的目的。

例如：()11111n n n n =-++111+++1223910∴⨯⨯⨯ (1111111223910111111)1223910910⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-+-=……+……+ 若以上例子分母为()()12n n n ++也能用此方法列项，即：()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦其实，整式也能进行裂项求和，例：()()11111230123⨯+=⨯⨯⨯-⨯⨯()()12212341233⨯+=⨯⨯⨯-⨯⨯()()13313452343⨯+=⨯⨯⨯-⨯⨯…………根据以上材料，回答下列问题：（注：此题n 为正整数） （1）计算：111+++=123234567⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… ；（2）裂项整式：()1n n += ；（3）若()()11114A=12+23++1=+122313n n B C n n n n ⎛⎫⨯⨯+++= ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭……，……，， A B ⋅试判断：与C 的大小.四、解答题：（本大题共1个小题，每小题8分，共8分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 26．已知二次函数423412++-=x x y 与x 轴交于点B A 、（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C .连接BC AC 、.（1）如图1，点P 是直线BC 上方抛物线上一点，当PBC ∆面积最大时，在线段BC 上取一点D ，CB CD 41=,点N M 、分别为y x 、轴上的动点，连接ND .将CDN ∆沿ND 翻折至ND C '∆,求'MC PM +的最小值.（2）如图2，点C 关于x 轴的对称点为点E ,将抛物线沿射线AE 的方向平移得到新的抛物线'y ,使得'y 交x 轴于点B H 、（H 在B 的左侧）.将CHB ∆绕点H 顺时针旋转︒90至''HB C ∆.抛物线'y 的对称轴上有一动点S ，坐标系内是否存在一点K ，使得以S K C O 、、、'为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由.重庆一中初2019级18—19学年度下期半期考试数学试题参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 二、填空题：（每题4分，共24分）13 14153 61 2122π--1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D ADCBCBBBDCA第26题图1 第26题图223 12 215.8三、解答题（每题10分，共70分） 19.（1）22)()2(b b a b a a --++解：原式=222222b b ab a ab a -+-++ ………………………………3分 =22a ………………………………5分 （2）31383-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 解：原式=133)1)(1(+-⨯--+x x x x x …………………………………3分 =1-x …………………………………5分20.（1） ∵AD ^BC , \ÐADB =90°∵BE 平分ÐABC , \ÐABE =ÐDBE =12ÐABC =12´56°=28°\ÐAEB =ÐDBE +ÐADB =28°+90°=118° ………………5分 （2） ∵BA =BC , 180180566222CBA BCA BAC ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒在Rt D ADC 中， ÐDAC =90°-ÐC =90°-62°=28°∵EF //AC , \ÐDEF =ÐDAC =28° ………………10分 21. （1）m=95；…………1分 n=92； …………3分（2）5人； …………4分 圆心角为54度；…………6分 （3）经过分析初一学生得分相对稳定 …………8分 （4）初一，平均分较高（回答合理即可得分） …………10分 22. （1）=a 2 ；=b 2.5 ； …………2分 （2）此函数自变量取值范围是04x ≤≤； …………6分（3）写出此函数的一条性质； 图像关于直线2x =对称；（回答合理即可得分）…………8分（4）x 的值约为 1.1 cm .（结果保留一位小数） …………10分23.（1）设甲种车型生产成本价为x 万元，则乙种车型的生产成本价()5x +万元：901355x x =+ …………2分 10x ∴=10x =经检验为原方程的解 …………3分第20题图（2）由条件，设：甲种车型、乙种车型数量分别为2,m m ，10215350m m ∴⨯+= 10m ∴= …………6分∴甲种车型、乙种车型数量分别为20辆，10辆；∴()15101+%1201515%10468210a a a ⎡⎤⎛⎫-⋅++⋅⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………8分 ∴2403840a a +-= ∴8;48()a a ==-舍去故：a 的值为8. …………10分换元法：)(2512,252024250625212舍-===-+t t t t24.解：（1）在ABC Rt ∆中，3,4,90===∠AC AB BAC522=+=∴AC AB BC …………………………………………1分AC AB AE BC S ABC ⨯=⨯=∆2121 512=∴AE …………………………………………2分在ABE Rt ∆中，512,4,90===∠AE AB AEB51622=-=∴AE AB BE516==∴BE EF …………………………………………3分54=-=∴AE EF AF …………………………………………4分（2）法一：作AC CG ⊥交AD 于点G90=∠+∠∴⊥DKC D CF CD90=∠+∠AKF F且DKC AKF ∠=∠D F ∠=∠∴ABCD 是平行四边形 D B ∠=∠∴,则F B ∠=∠ 在ABE ∆和CFE ∆中，K⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠ 90CEF AEB FEBE F B )(ASA CFE ABE ∆≅∆∴ …………………………………………6分 CF AB =∴CF CD =∴GCDACF FCG GCD FCG ACF ∠=∠∴=∠+∠=∠+∠9090在ACF ∆和GCD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠GCD ACF CDCF D F （或⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CF GCD ACF CG AC ) )(ASA GCD ACF ∆≅∆∴ …………………………………………8分 GD AF =，GC AC =ACG ∆∴是等腰直角三角形 AC AG 2=∴ AF AC GD AG AD +=+=∴2 …………………………………………10分法二：作AH AC ⊥交BC 于点H先证CFE ABE ∆≅∆再证CFA ABH ∆≅∆再证ACH ∆是等腰直角三角形法三：作AC CM ⊥交AE 的延长线于点M先证CFE ABE ∆≅∆再证ACD MCF ∆≅∆再证ACM ∆是等腰直角三角形25. （1）计算：111+++=123234567⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (521)； …………2分 （2）裂项整式：()1n n +=()()()()112113n n n n n n ++--+⎡⎤⎣⎦； …………4分 （3）()()111+2=31A n n n B n =++， …………6分()()11412313A B C n n n n n ∴⋅-=++⋅-+()2=3n n - …………8分 10,n A B C A B C∴=⋅-<∴⋅<当时， 2=0,=n A B C A B C ∴=⋅-∴⋅当时，20,n A B C A B C∴>⋅->∴⋅>当时，…………10分 四、解答题（共8分） 26. （1）A (-2,0),B (8,0),C (0,4) , 142BC y x =-+过点P 作y 轴平行线，交线段BC 于点Q ，设P (m ,-14m 2+32m +4),Q (m ,-12m +4) S D PBC =S D CPQ +S D BPQ =12(x B -x C )PQ =4PQ =-14m 2+2m∵0<m <8,a =-14<0, \P (4,6) ………………2分∵CD =14CB ,\D (2,3) 作P 关于x 轴的对称点P '(4,-6),当P ',C ',D 三点共线时，(PM +MC ')min =(P 'M +MC ')min =P 'D -C 'D =P 'D -CD = ………………4分（2）K 1(-K 2(-1,K 3(11,2K 4(11,2K 5(1,7) ………………8分。