41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
(2) X的概率密度函数为
0.5e x f ( x) F ( x) 0
0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
(3) P( X 1) 1 P( X 1) 1 F(1) 1
3
3
32
例6：设r.v.X的密度函数 f (x)为偶函数，
试证明：对任意a
0,
有F
(a)
1
F
(a)
1 2
0a
f
(
概率论
概率密度的性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
概率论
2 正态分布 N (, 2 ) 的分布函数
设 X~ N (, 2 ) , X 的分布函数是
F x 1
e dt x
(t μ)2 2σ2
,
x
2πσ
概率论
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和 σ不同时，是不同的正态分布。
e ( st ) es
et P( X t) 指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如 随机服务系统中的服务时间，一些消耗性产品（如电子 元器件）的使用寿命等多近似服从指数分布。
例9：设自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：分钟）
服从θ=3的指数分布。若一位顾客恰好在你之前开始使用取 款机，求（1）至少等候3分钟的概率；（2）等候3~6分钟的 概率。又若你到达取款机时，已有一位顾客正在使用，上述 概率又是多少？
于是所求概率为P 1 (e0.2 )10 0.865
例 8：假设一大型设备在任 何长为t的时间内发生故
障的次数 X(t)服从参数为t的泊松分布
(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； (2)求设备无故障工作8小时的概率； (3)求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故 障工作8小时的概率。 解：(1)求概率分布，由题目所给的条件，求T的分布 函数。 当t 0时，由于T是非负的随机变量， 故有F (t) P(T t) 0 当t 0时，事件“T t”表示相邻两次故障的时间间隔
不大于t，即在t长的时间内至少发生一次故障，即X(t) 1,
反之，若X(t) 1，说明在t长的时间内发生了故障，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有 F (t ) P(T t ) P[ X (t ) 1]
因为 P[ X (t ) k] (t )k et , k 0,1,2,
k!
lim F( x) C A A, lim F( x) B A B
x0
x0
lim F( x) B, lim F( x) D A 1 A B 1 A
x1
x1
由上述两式得 A B 1 于是有 2
0.5e x F ( x) 0.5
1 0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
3. 正态分布
概率论
若连续型 r .v. X 的概率密度为
请记住
f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和σ
的正态分布或高斯分布. 记作
X : N(, 2)
1o f x具有下述性质 :
1 f x 0 ;
f (x)
函数f (x)的图形呈钟形，
a
f
( x)dx
0 f ( x)dx 0a f ( x)dx
1 2
a
0
f
( x)dx
二、 常见的 c.r.v.
例7：若 c.r.v.X
~
f
(x)
0
a xb else
确定常数 ，设[c, d] [a, b],求 P(c X d)
解：
f
(
x)dx
abdx
(b
a)
1
1
ba
y
P(c
X
d)
d
c
定理1.20 如果X ~ Exp( ),则对s 0, t 0,
有 P(X s t X s) P(X t) 证明 : X ~ Exp( ),
P( X t) 1 P( X t) et ,
P(X s t X s) P(X s t, X s) P(X s)
P(X s t) P(X s)
f
(
x)
e
x
0
x0 x0
1
表示X的平均取值;
1 ex F(x)
0
x0 x0
例 7：设日光灯管的使用寿命X服从指数分布，平均
使用寿命为3000小时，教室内安装了10只日光灯，假设每
天开灯4小时，求150天内该教室已更换过日光灯管的概率。
解：使用寿命的分布函数为
F
(
x
)
1
e
x 3000
则 P( X 150 4) 1 F (600) e0.2
x)dx
证明：
F (a)
a
f
(
x
)dx
xt
a
f
( t )( dt )
a
f
( t )dt
a
f
( t )dt
f
( t )dt
a
f
( t )dt
1
F (a)
因为f
( x)是偶函数，所以0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
而
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1
0
f
( x)dx
1 2
因此
1
F (a)
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
0 6
0 x3
F ( x)
3x dx
x 2 x dx,
3 x4
06
3 2
1,
x4
x0
x
3
x4x
x
概率论
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P1
X
7 2
F
7 2
F 1
所以当t 0时，有 F(t) 1 P[X (t) 1] 1 et
于是T的分布函数为F
(t
)
1
e t
0
t0 t0
可见，T服从参数为的指数分布。
(2)求设备无故障工作8小时的概率；
P2 P(T 8) 1 F (8) e8
(3)求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故 障工作8小时的概率。
2.指数分布：如果随机变量 X的概率密度为
f
(
x)
e x
0
x0 x0
其中 0，则称 X服从参数为的指数分布。记为X ~ E( ).
容易验证： f ( x)dx
e xdx 0
e x
0
1
Note1:
1
表示X的平均取值;(后面证明)
1 ex x 0
F(x) 0
x0
请大家记住!
概率论
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4o 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
概率论
请注意:
c.r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
故有 P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)