— 连续型随机变量的描述方法.
第三讲 连续型随机变量及其概率密度
连续随机变量; 密度函数及其性质; 均匀、指数与正态分布
(1) 定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值:
x1=a, x2, x3, x4,… , xn=b．
P
X的概率 直方图：
s3 s2
小矩形高
概率 小矩形宽度
即小矩形的面积为
离
{X a} 是不可能事件
散
P{X a} 0.
型
要点重申
⑴ 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 (－∞, x ] 上的取值概率, 即
F(x) P{X x}
⑵ 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有
F () 0 , F () 1 0 F(x) 1
…… f ( x)dx

P{ X } f ( x)dx 1
由此推出连续 型随机变量
的定义
一、 连续随机变量及其分布密度
定义1(P40.定义) 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负
可可积积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有

f (x)dx 1
⑷ “ 连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但 “离散随机变 量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取 值概率肯定不为零.
要点重申
⑸ 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间
的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分，
2. 连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以 连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量.
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间， 对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样， 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布， 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其 概率分布. 下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量
第二章 随机变量及其分布
连续型随机变量及其分布
有关要点回顾 1．离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限 多个或无限可列个，叫做离散型随机变量. 离散型随机变量的分布律为
其中
1. pk 0, k 1,2,...,（非负性）

2. pk 1, （归一性） k 1
对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列， 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义 上，我们说 离散型随机变量由它的分布列唯一确定.
连续型的分布函数必连续
F(x)

x

f
(t )dt
,
则称 X 为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数， 简称为
概率密度或密度.
判定一个函数 f (x) 为
密度函数的基本特性： 某连续型随机变量的
(1) f (x) 0 ；
概率密度的充要条件
非负性 (2)

f
(t )dt

不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 .
要点重申
⑶ 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与 分布函数 F (x) 的相互关系是
F(x)
x
f (t)dt
,
f (x) dF (x)

dx
并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性, 也就是
面积为1
o
x
密度函数的几何意义
密
度
函
数
曲
线
位
于
x
轴
上
方
P(a X b)＝ b f (t )dt a
即 y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。
点概为零的重要启示
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2}
= P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2}
Ｘ取对应点的概率
s1
x1=a x2
x3
sn
…….
xn=b
X
n
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
i 1
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内连续
取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x).
P
f (x)
而且：
b
S a f ( x)dx
f (x)
X
a
X 取值于(x , x+x]的概率=
F1(；其) 密F度(在此)区间=上1的-积0分

y 面积为1 y = f (x)
O x1 x2
x
规范由性定(3义)
概率 公式
(4)
可微性 (5)
独点
若PPP((axf(<1X(<Xx=X)x在b0))x=点2)P==x(al0ixF处m(.0Xx连P2xx<x1)1(2续-bxffF)0((，=t(tx))PdXd1)(tt则a;xXx0xF12fb((x)xt=))x)d2Ptf(lixa(fmt<()0xdXx1t)x<xf0;0b(t)x)xd1f t(f
不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是 不可能事件。
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然 事件。
注意
若X是连续型随机变量，
{ X=a }是不可能事件，则有 P{X a} 0.
连
续
若 P{X a} 0,
型
不能确定 {X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
= F(x2) －F(x1) =
x2 f ( x)dx
x1
连续型随机变量取值落在某一区间 的概率与区间的开闭无关
(2) 若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是 说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿 命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而 P (X=1000)=0， 但事件 (X = 1000) 是一定会 发生的，否则不会出现事件 (X >1000)，所以
(t )dt
x)dx

b
a
f
=0
(t )d
t
,
概率
P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = .
几乎不可能事件
几乎必然事件
1 o f (x) 0

2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)