1 e x , x 0 解 : X的分布函数为 F ( x ) 0, 其 他
P ( X c ) 1 P ( X c ) 1 F (c )
即 : 1 (1 e
c
1 1 ln 2 c ) e c 2 2
例2: (P72习题20)设某顾客在某银行窗口等待服务的 时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度 为：
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二、几种重要连续型随机变量的分布
1、均匀分布 定义：若随机变量X的概率密度为 可能值
1 f ( x) b a 0
记为 X~U( a , b )
a xb 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．
均匀分布的含义是：随机变量X取区间(a , b) 内任何一点是等可能的。即X落入区间(a , b)内等 长度的子区间内的概率相同。 均匀分布的分布函数为 ：
p P ( X 10) 1 P( X 10) 1 F (10) e
(3)设Y为他5次去银行中未受到服务的次数，则
2
Y~B( 5, e )
(4)该顾客未受到服务的次数不少于1的概率为：
-2
P (Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e 2 )5 0.5167
x 1 1 5 e ,x0 f ( x) 5 0, 其 他
该顾客的习惯是，等待时间超过10分钟便离开， 现知他一个月到银行5次，求他未受到服务的次 数不少于1次的概率。
1 x 1 e 5 , x 0 F ( x) 解 : (1) X的分布函数 0, 其他 (2)该顾客未受到服务的概 率为:
概率密度函数 f ( x )反映r.v.X落在
概率
x 处附近，
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单位长度所具有的概率。
从而得到
P ( x X x x )
F ( x x ) F ( x ) f ( x )x
概率微分
（4）连续型随机变量X的值落入区间 （ a , b ]内的概率
P (a X b) F ( b) F ( a)
求(1) P(0. 3 < X < 0.7) ; (2)X的概率密度f(x).
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.4 解：
2 x , 0 x 1 (2) f ( x ) F ( x ) 0, 其它
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例2 设连续型随机变量X的概率密度为：

0.7
0.3
( x )dx
2 xdx x
0.3
0.7
2 0 .7 0 .3
0 .4
( 3)F ( x ) ( t )dt

x
当 x 0 时，F ( x ) ( t )dt

x

x

0dt 0
当0 x 1 时，F ( x ) (t )dt
则称X服从参数为的指数分布.记作：X～E(θ )
1 e x , x 0 其分布函数 F ( x ) x0 0,
如, 电子元件的寿命 X~ E(θ)
例1：(P72习题18) 设随机变量X服从参数为θ 的指数 1 且P ( X c ) 分布， ，试确定常数c. 2
3、正态分布
(1) 一般正态分布: (2) 标准正态分布:
X ~ N ( , )
2
X ~ N (0, 1)
( 3) N ( , 2 )与N (0,1)的联系
(4) 标准正态分布的上α分位点
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(1) 一般正态分布: X ~ N ( , 2 ) 定义 若连续型随机变量X的概率密度为
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当 x 0 时，F ( x )
0
x

f (t )dt
x 1 t 1 t e dt e dt 2 0 2 1 x 1 0 t 1 x t e dt e dt 1 e 2 2 0 2
1 x 2e , x 0 F ( x) 1 x 1 e , x 0 2
, x
1 e 2
t2 2
( ( x )为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
( x )
x

dt
性质：
( i ) (0)
( ii )
由图形对称性
( x ) 1 ( x )
( x)
0 .5
P( X x) P( X x)
（2）设观测值大于3的概率为p , 则
p P ( X 3)
5 3
1 2 f ( x )dx dx 33 3
5
(3)设Y为3次独立观测中观测值大于3的次数，则
2 Y ~ B( 3, ) 3
（4）至少有两次观测值大于3的概率为：
2 k 1 3 k P(Y 2) C ( ) ( ) 3 3 k 2
cx, 0 x 1 ( x) 0, 其他
求: (1) 常数c ; (2) P(0. 3 < X < 0.7) ;
(3)求分布函数F(x)并作图
(1)由 ( x )dx 1 解：


cxdx 1 c 2
0
1
(2) P (0.3 X 0.7)
( x ) 1 ( x )
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179
( 3) 0.9987
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例1: 设X ~ N (0,1), 试求 :
F ( x)

x

f ( t )dt
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密 度函数，简称概率密度。 2说明 (1) 分布函数F(x)是连续函数. (因为F(x)是积分上 限函数) (2) f ( x )的性质
(i ) f ( x ) 0
( ii)



f ( x )dx 1
更一般的

b
a
f ( x )dx
P ( X G ) f ( x )dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P( X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) 0
注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即

x

0

0dt 2tdt x 2
0
x
当 x 1 时，F ( x ) (t )dt

x
0dt 2tdt 0dt 1
0 1
0
1
x
0, x 0 2 即F ( x ) x , 0 x 1 1, x 1
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例3 设连续型随机变量X的概率密度为：
f ( x) ce
求: (1) 常数c ;
x
, x
(2) P(0 < X <1) ;
(3)求分布函数F(x)
解：(1)由 f ( x )dx 1 ce dx 1
x


2

0
1 ce dx 1 c 2
极值：
f 最大 （）
1 2
（4）凹凸性：凸弧（-，+）
凹弧（-，-）（+，+）
1 拐点： ( x , y ) ( , e ) 2

1 2
（5）渐近线：y=0
(6)
１
2
1 21 1 2 2

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特点: 落在 附近的概率大 落在远离 的概率小 所以, 若对X进行观测, 大多数的观测值在 附近, 少数的观测值远离 ，呈现中间多， 两头少的格局 如，考试成绩，人的寿命，身高，家庭收入 等都服从正态分布
x 0
P (a X b) P (a X b)
P (a X b) P (a X b)
F (b) F (a )

b
a
f ( x )dx
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例1 已知连续型随机变量X的分布函数为：
x0 0, 2 F ( x) x , 0 x 1 1, x1
P ( X 9)

9
f ( x )dx
10 9
1 1 dx 2 2
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例2: 设随机变量X在区间[2 ,5]上服从均匀分 布。现对X进行3次独立观测，试求至少有两次
观测值大于3的概率。
解: (1) 因为X～U（2，5）, 故X的概率密度为
1 ,2 x5 f ( x) 3 0, 其他
k 3
3
2 2 1 20 3 2 3 C ( ) C3 ( ) 3 3 3 27
2 3
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例3 : 设X ~ U ( 0,10), 试求方程
x 2 Xx 1 0有实根的概率 .
解:
有实根 X 2 4 0
“X 2”或“X 2”
由题意X的概率密度为：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
x
, 0为常数 , 则称X服从参数为µ，σ 的
正态分布，记作: X ~ N ( , 2 )
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概率密度f(x)的图形与性质
1 2
y
-

+
x
（1）定义域:（-，+） （2）对称性：关于x=对称 （3）单调性：在区间（- ，）单调上升， 在区间（，+）单调下降；