第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（ 1）对系统进行受力分析, 得到系统所受的合力；（ 2）利用牛顿第二定律m x F ,得到系统的运动微分方程；（ 3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（ 1）对系统进行受力分析和动量距分析；（ 2）利用动量距定理J M ,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（ 1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程(L )L =0，得到系统的运动微分方程；dt（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（ 1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能 U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即d(T U )0 ，进一步得到系dt统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（ 1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 A i、 A i 1。

（2）由对数衰减率定义ln( Ai) ，进一步推导有A i12，21因为较小，所以有。

2方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。

（ 1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：单自由度系统的幅频曲线（ 2）分析以上幅频曲线图，得到：1,2max / 22/ 4 ；于是2(1 2 )2；1n进一步2(1 2 )2；2n最后21 / 2n/ 2n ；叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。

方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励F0sin t 作用下其稳态响应为：x A sin(t) ,其中：A F0xst；(1)m224n2212422n0arctan 2/ 12(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（ 2）式求得阻尼比。

方法二：功率法：（ 1）单自由度系统在F0 sin t 作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为W c 0、阻尼力做功为W d c A 2、激振力做作功为W f F 0sin；（ 2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即：W c+W d+W f0 ；于是F 0 sin -c A2进一步得： AF 0 sinc ；（ 3） 当 n时， sin1，则 Amaxxst2 ，得max1 2,2max。

求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。

（ 1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1、简支梁 m48EI ；k; 有111 刚 度 为k 2等 效 刚 度 为；mL 3kk 1 k 2m1 48EIkL2k148 EI k l 311k 1k 2k 48EIl 348EI 2L48 EI k 1l 3 mk k 13mlL kkk 1l 348EIkk 13EIk 13EIkk 1l33EIm FI1mml 3l 3l 3mml 31 111 12k 1k 1 2 lk12 l2 lk12 l2 mlk 1k 12m2m解：以为广义坐标，则系统的动能为T T 重物T 轮子1 2 1 2A（ m ）xI 022k1 P21 1 P2 x2P2P2x图 1-34（2g ）x(R )x22 2 gR4 g4 gBP x 22g系统的势能能为：x1 kx 2UU 重物U弹簧Px ；2拉格朗日函数为L=T-U ;由拉格朗日方程( L )L0 得dt xxPg则，x kx0kg0=Pkg所以：系统的固有频率为P求图 1-35 所示系统的固有频率。

图中磙子半径为R，质量为 M，作纯滚动。

弹簧刚度为 K 。

解：磙子作平面运动，KR 其动能 T=T平动 +T 转动。

xM图 1-35T平动1&2;2Mx22 &211MR&T转动2I22;R RT 1 Mx2 1 M x23M x2；244而势能U 1Kx 2；2系统机械能T U 3M x 21Kx 2 C ; 42由dT U0 得系统运动微分方程d t3Mx Kx 0 ；2得系统的固有频率n 2 K3M；求图 1-36 所示齿轮系统的固有频率。

已知齿轮 A 的质量为 m A，半径为 r A，齿轮 B 的质量为m B，半径为 r B,杆 AC的扭转刚度为K A, ,杆 BD的扭转刚度为 K B,解：由齿轮转速之间的关系A r A B r B得角速度B r A r AA ；转角B A ；r B r B系统的动能为： T T A T B 1J A A21J B B222C AT1m A r A2A21m B r B2B 21m A m B r A2A2； B D22224图 1-36系统的势能为：U 1212 K A A K B B 22系统的机械能为1 2 2 K A A K B B21r A2A2K A K Br B2;2T U1m A m B r A2 A 241K Br A22C ；K Ar B2A2由dT U 0 得系统运动微分方程 d t1m B2K Ar A20 ；m A r A A K B2A2r B因此系统的固有频率为：2 K Ar A22 K Ar A2 K B2K B2 r B1r Bnm A m B r A2r A m A m B；已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为 m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系数为 C，求当初始条件00 0 时（１） f (t) F sin t 的稳态解；C f(t)（２） f (t )(t )t的解；L2L LC L22f (t )LKL222r 2mdr mL 2L J K LJ r 2 dm2222L LL1222mL 23CL 26KL 26Lf (t )3C6K 6f (t) f (t ) F sin t f (t) F sin tm m mL3C 6 K6F sin t 3C;26K 6 F2n2h sin tm m2n n; h;n mL m m mLx Asin( t)Ah6Fn 2224n2 2L 6 K m 2 29C 2 22narctg 3Cf (t)(t) f (t)(t)3C6K6arctg(t)n 226K m2m m mL2n3C2 6K6 ;2n2 h ( t )mh ( t );n; hmLnh ( t )mm0 d th ( t)d th( t )d th0 d th ) d t 0mxAen t sind t Ah ;0 ;x Ae ntsind th e n t sind tm dm dmgH1mV 0 2 V 0 2gHV 0 2 gH mx Cx Kx 0 x C x K x 0 ; x2nx n 2 x0 ;2m mx 0n x 0 2x 02gHd x 0xAen t sind tAx 0 2arctgx 0dddn x 0x2 gHsin d t ; my k ( yy 1 ) c( yy 1 ) y y2dCmy cy ky ky 1 cy 1 yh sin(at )my cy ky ach cos(at ) kh sin(at )yA sin( t a) Ak 2 c 222 2 h a acr tan(mc 32 ) 电磁激 振(km 2 ) 2 c k(k m2) c 2力可写为 F (t ) H sin 20 t，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。

解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：F (t )a 0(a i cos(it ) b i sin(it))2i 12T t i t dt ；2T其中：Fa iT( ) cos( )b iT 0 F (t) sin(i t )dt因为 F (t ) H sin 2 ( 0 t) 是偶函数，所以 b i 0 。

于是F (t) HHcos(2 0 t)2 2而H x(t )Asin(2 0 ta / 2) ；2k式中HA2m；(n 242 )16n 20 2a arctan2n；24 2ncn, 2m2 nkm. 若流体的阻尼力可写为F dbx 3, 求其等效粘性阻尼。

解：（ 1）流体的阻尼力为 F dbx 3 ；（ 2）设位移为 x A cos( t ) ，而 dxxd t ；（ 3）流体的阻尼力的元功为dW dF d dx( bx 3xd t) ；（ 4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：WF d dxbx 3dxbx 4dtb[ A cos( t43 b 3A 4a)] dt4（ 5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为： 2cA（ 6）等效粘性阻尼：取n ，令3 b n3A 4n c eq A 234可得：c eqb n 2A 24第二章 两个自由度系统求如图 2-11 所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。

解：（ 1）系统的振动微分方程mx 1kx 1 k( x 1 x 2 ) ;X1X2mx 2k (x 2 x 1 ) kx 2 ;mmkkk即mx 1 2kx 1 kx 2 0 ；mx 2kx 1 2kx 2； （ 1）图 2-11 （ 2）系统的特征方程根据微分方程理论，设方程组（ 1）的解为：x 1A 1 sin( t) ； x 2 A 2 sin( t)（2）将表达式（2）代入方程组（ 1）得：( m 2 A 12kA 1 kA 2 ) sin( t) 0( m2A 2 kA 12kA 2 ) sin( t)（ 3）因为 sin( t) 不可能总为零，所以只有前面的系数为零：(2k m2) AkA0 ;12；2 )AkA(2km20;1即2k m2kA 1 0 ；（ 4）k2km2A 2（１） 系统的频率方程若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：2k m2k0 ；k2km2展开得m 2 44 23 2 0；（ 5）mkk系统的固有频率为：1K / m ；23K / m ;（ 6）（２） 系统的固有振型将1 ，2 代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：1A 1(1)1 ;1A 1( 2)A (1)A 1 ; （ 7）(1)( 2)( 2)22系统各阶振型如图所示：其中（a ）是一阶振型， （b ）是二阶振型。