第17讲 二次函数与面积解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题：如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．CB1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）²＋4＝－x ²＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b由1y ＝－x ²＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3；（2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝12×3×2＝3（平方单位）；②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x ²＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x ²＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得：12×3×（－x ²＋3x ）＝3 化简得：x ²－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2，将1x ＝1代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x ²＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）．∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）．模型讲解竖切面积公式均为1=2S dhCBhCBh CB横切面积公式均为1=2S dhD【总结】这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.（1）若△OBP 的面积为3，求k 的值； （2）若△AOB 的面积为1，求k 的值.【解析】（1）∵y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （1kk －＋3，0），B （0，k －1） ∵P （－1，－4） ∴121k －×1＝3 ∴1k －＝6∴1k ＝7，或2k ＝－5. （2）121kk －＋31k －＝1()21k k －＋3＝2∴（k －1）²＝23k ＋①当k ＋3≥0，即k ≥－3时，k ²－4k －5＝0 ∴1k ＝5，或2k ＝－1；②当k ＋3＜0，即k ＜－3时，k ²＝－7（舍去）； 综上所述：1k ＝5，或2k ＝－1. 例题3 如图，二次函数y ＝12ax 2－ax ＋c 的图像的顶点为C ，一次函数y ＝－x ＋3的图像与这个二次函数的图像交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与它的对称轴交于点D . （1）求点D 的坐标；（2）若点C 与点D 关于x 轴对称，且△BCD 的面积为4，求此二次函数的关系式.【解析】（1）∵y ＝12ax 2－ax ＋c ∴x ＝－aa－＝1，∵y ＝－x ＋3 ∴y ＝2 ∴D （1，2）；（2）设B 点坐标为（m ，n ）. ∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴C （1，－2） ∴CD ＝4. ∵BCD S △＝4， ∴12×4×（m －1）＝4 ∴m ＝3 ∵y ＝－x ＋3 ∴n ＝－3＋3＝0 ∴B （3，0） ∵y ＝12ax 2－ax ＋c ∴1229032a a c a a c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝－＋＝－＋∴13c 2a ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－∴y ＝12x 2－x 32－.例题4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）是方程x ²－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2. （1）求抛物线解析式；（2）若点E 时线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围.【解析】（1）x ²－10x ＋16＝0， 解得1x ＝2，2x ＝8．∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）， ∴点B 的坐标为（2,0），点C 的坐标为（0,8）．又由抛物线的对称轴是直线x ＝－2，得A 点坐标为（－6,0），把A ，B ，C 点坐标代入表达式y ＝ax ²＋bx ＋c ，得36604208a b c a b c c ⎧⎪⎨⎪⎩－＋＝＋＋＝＝，解得23838a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝－＝－＝．∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x ²－83＋8． （2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8, ∴AC ＝10. ∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ，EF AC ＝BE AB ，即10EF ＝88m－， ∴EF ＝4054m －． 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ， 则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45，∴FG EF ＝45，FG ＝45·4054m－＝8－m ， ∴S ＝BCE S △－BFE S △＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝－12m ²＋4m （0＜m ＜8）.【巩固练习】1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝－12x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；2．如图，已知抛物线y ＝－x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （－1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax ²－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B 的横坐标是方程x²－4x－12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．5．一次函数y＝－34x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax²＋4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标．（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于现在x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．6.已知：在直角坐标系中，点C的坐标为（0，－2），点A与点B在x轴上，且点A与点B的横坐标是方程x²－3x－4＝0的两个根，点A在点B的左侧.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.（2）点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0）连接CD、CP，设△CDP的面积为S，当S取某一个值时，有两个点P与之对应，求此时S的取值范围？7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx²＋nx相交于A（1，3），B（4，0）两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMN S △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MNNC的值，并求出此时点M 的坐标.参考答案1.【解析】（1）令y ＝0，则2x ＋4＝0，解得x ＝－2，令x ＝0，则y ＝4，所以，点A （－2,0）、D （0,4）；代入抛物线y ＝12x ²＋bx ＋c 中，得： 142024b c c ⎧⨯⎪⎨⎪⎩－－＋＝＝，解得14b c ⎧⎨⎩＝＝ ∴抛物线的解析式：y ＝12x ²＋x ＋4； 令y ＝0，得：0＝12x ²＋x ＋4，解得1x ＝－2、2x ＝4． ∴点B （4,0）． （2）∵AOM S △:OMD S △＝1:3，∴AM :MD ＝1:3；过点M 作MN ⊥x 轴于N ，如图；①当点M 在线段AD 上时，AM :AD ＝1:4；∵MN ∥OD ，∴△AMN ∽△ADO∴MN ＝14OD ＝1、AN ＝14OA ＝12、ON ＝OA －AN ＝2―12＝32； ∴M （－32，1）； ②当点M 在线段DA 的延长线上时，AM :AD ＝1:2；∵MN ∥OD ，∴△AMN ∽△ADO ，∴MN ＝12OD ＝2、AN ＝12OA ＝1、ON ＝OA ＋AN ＝3； ∴M （－3，－2）；综上，符合条件的点M 有两个，坐标为：（－32，1）、（－3，－2）．2.【解析】（1）y ＝x ＋1；（2）点P 的坐标为（12，154）. （1）将A （－1,0），C （2,3）代入y ＝－x ²＋bx ＋c ，得：10423b c b c ⎧⎨⎩－－＋＝－＋＋＝，解得：3b c ⎧⎨⎩＝2＝， ∴抛物线的函数关系式为y ＝－x ²＋2x ＋3．设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋a （k ≠0），将A （－1,0），C （2,3）代入y ＝kx ＋a ，得：023k a k a ⎧⎨⎩－＋＝＋＝，解得：11k a ⎧⎨⎩＝＝， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝x ＋1．（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，过点C 作CN ⊥x 轴，垂足为N ，如图所示．设点P 的坐标为（x ，－x ²＋2x ＋3）（－1＜x ＜2），则点M 的坐标为（x ,0）．∵点A 的坐标为（－1,0），点C 的坐标为（2,3），∴AM ＝x ＋1，MN ＝2－x ，PM ＝－x ²＋2x ＋3，CN ＝3，AN ＝3，∴APC S △＝APM S △＋PMNC S 梯形－ACN S △，＝12AM ·PM ＋12（PM ＋CN ）·MN －12AN ·CN ， ＝12（x ＋1）（－x ²＋2x ＋3）＋12（－x ²＋2x ＋3＋3）（2－x ）－12×3×3， ＝－32x ²＋32x ＋3． ∵APC S △＝－32x ²＋32x ＋3＝－32（x －12）²＋278，－32＜0，∴当x ＝12时，APC S △取得最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（12，154）．3.【解析】（1）令y ＝0，则ax ²－2ax －3a ＝0，解得1x ＝－1，2x ＝3∵点A 在点B 的左侧，∴A （－1,0）如图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴ DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC， ∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC＝4， ∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax ²－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D （4,5a ）把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得045a k b k b ⎧⎨⎩－＋＝＋＝， 解得a k a b ⎧⎨⎩＝＝， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ．（2）如图1，过点E 作EN ⊥y 轴于点N设点E （m ，a （m ＋1）（m －3）），11AE y k x b ＝＋，则()()111113a m m mk b k b ⎧⎪⎨⎪⎩＋－＝＋0＝－＋，解得：()()133k a m b a m ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝－， ∴AE y ＝a （m －3）x ＋a （m －3），M （0，a （m －3）），∵MC ＝a （m －3）－a ，NE ＝m ，∴ACE S △＝ACM S △＋CEM S △＝12[a （m －3）] ＋12[a （m －3）－a ]m ＝12 （m －1）[a （m －3）－a ] ＝2a （m －32）²－258a ， ∴有最大值－258a ＝54， ∴a ＝－25.4.【解析】（1）由x ²－4x －12＝0，解得：1x ＝－2，2x ＝6，点A 、点B 的横坐标是方程x ²－4x －12＝0的两个根，故A （－2,0）、B （6,0），则426036660a b a b ⎧⎨⎩－＋＝＋＋＝， 解得122a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝．故二次函数y ＝－12x ²＋2x ＋6，顶点坐标（2,8）； （2）设点P 的横坐标为m ，则0＜m ＜6，连接AQ ，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋6，直线AC 的解析式为y ＝3x ＋6，设Q 点坐标为（a ，6－a ），由PQ ∥AC ， 可知6a a m－－＝3， 解得a ＝634m ＋， 6－a ＝34（6－m ）， CPQ S △＝APQ S △＝12（m ＋2）·34（6－m ） ＝－38（m ²－4m －12）＝－38（m －2）²＋6， 当m ＝2时，S 最大＝6，所以，当△CPQ 的面积最大时，点P 的坐标是（2,0）．5.【解析】（1）∵抛物线的对称轴方程为x ＝－2b a ， ∴抛物线的对称轴为x ＝－42a a ＝－2． ∵将x ＝－2代入y ＝－34x 得：y ＝－34×（－2）＝32， ∴点C 的坐标为（－2，32）． （2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（－2，32）． ∴CD ＝3．设点A 的横坐标为x ，则点A 到CD 的距离＝（x ＋2）．∵△ACD 的面积等于3，∴12×CD×（x＋2）＝3∴．解得：x＝0．将x＝0代入y＝－34x得：y＝0．∴点A的坐标为（0,0）．设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）²－32，将（0,0）代入得；4a－32＝0，解得：a＝38．∴抛物线的解析式为y＝38（x＋2）²－32．②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．设点D的坐标为（－2，m），则CD＝32m－．∵DC＝AC，∴AC＝32m－，∵EA∥x轴，∴∠COF＝∠CAE.∴AE＝45AC＝4352m⎛⎫⎪⎝⎭－∵△ACD 的面积为10， ∴12CD ·AE ＝10，即12×（m －32）×45（m －32）＝10. 解得：m ＝6.5或m ＝－3.5．当m ＝6.5时，点D 的坐标为（－2,6.5）．AE ＝45×（6.5－1.5）． ∴点A 的横坐标为－2＋4＝2．将x ＝2代入y ＝－34x 得；y ＝－34×2＝－32． ∴点A 的坐标为（2，－32）． 设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋2）²＋6.5，将点A 的坐标代入得：16a ＋6.5＝－1.5．解得：a ＝－12． ∴抛物线的解析式为y ＝－12（x ＋2）²＋6.5． 当m ＝－3.5时，点D 的坐标为（－2，－3.5）．AE ＝45×[1.5－（－3.5）]＝4． ∴点A 的坐标为（2，－32）． 设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋2）²－3.5，将点A 的坐标代入得：16a －3.5＝－1.5．解得：a ＝18． ∴抛物线的解析式为y ＝18（x ＋2）²－3.5．6.【解析】（1）解方程x ²－3x －4＝0，得：1x ＝－1、2x ＝4，则A （－1,0）、B （4,0）；依题意，设抛物线的解析式：y ＝a （x ＋1）（x －4），代入C （0，－2），得：a （0＋1）（0－4）＝－2，解得：a ＝12故抛物线的解析式：y ＝12（x ＋1）（x －4）＝12x ²－32x －2． （2）由C （0，－2）、D （2,0）得，直线CD ：y ＝x －2；作直线l ∥CD ，且直线l 与抛物线有且只有一个交点P ，设直线l ：y ＝x ＋b ，联立抛物线的解析式： x ＋b ＝12x ²－32x －2，即：12x ²－52x －2－b ＝0△＝254－4×12×（－2－b ）＝0，解得b ＝－418即，直线l ：y ＝x －418； 联立直线l 和抛物线的解析式，得：241813222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则P （52，－218）； 过P 作PM ⊥x 轴于M ，如图（2）②△CDP 的最大面积：max S ＝12151152125(2)22(2)28222288⨯+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=； ∴当P （52，218）时，△CDP 的面积有最大值，且最大面积为258． 连接BC 则BCD S △＝12BD ×OC ＝12（4－2）×2＝2 ∴S 的取值范围是2≤S ＜258.7.【解析】（1）∵A （1,3），B （4,0）在抛物线y ＝mx ²＋nx 的图象上， ∴31640m n m n ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得4m n ⎧⎨⎩＝－1＝， ∴抛物线解析式为y ＝－x ²＋4x ；（3）如图，过P 作PF ⊥CM 于点F ，∵PM ∥OA ，∴Rt △ADC ∽Rt △MFP ，∴MF PF ＝AD OD＝3， ∴MF ＝3PF ，在Rt △ABD 中，BD ＝3，AD ＝3，∴tan ∠ABD ＝1，∴∠ABD ＝45°，设BC ＝a ，则CN ＝a ，在Rt S △PFN 中，∠PNF ＝∠BNC ＝45°，∴tan ∠PNF ＝PF FN ＝1， ∴FN ＝PF ，∴MN ＝MF ＋FN ＝4PF ，∵BCN S △＝2PMN S △，∴12a ²＝2×12×4PF ²， ∴a ＝，∴NC ＝a ＝，∴MN NC∴MNa ，∴MC ＝MN ＋NC1）a ，∴M 点坐标为（4－a ，1）a ），又M 点在抛物线上，代入可得－（4－a ）²＋4（4－a 1）a ， 解得a ＝3或a ＝0（舍去），OC ＝4－a 1，MC ＝3＋，∴点M＋1，3＋．。