高考导数专题复习高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '， 且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。

(2)若可导函数()y f x =在0x x = 处取得极值， 则0()0f x '=。

反之， 不成立。

(3)对于可导函数()f x ， 不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。

(4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.(5)函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值， 则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。

（若()f x '为二次函数且I=R ， 则有0∆>）。

(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数， 进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立(7)若x I ∀∈， ()f x 0>恒成立， 则min ()f x 0>; 若x I ∀∈， ()f x 0<恒成立， 则max ()f x 0<(8)若0x I ∃∈， 使得0()f x 0>， 则max ()f x 0>；若0x I∃∈， 使得0()f x 0<， 则min ()f x 0<.(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ， 若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立， 则有[]min ()()0f x g x ->.(10)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立， 则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x <， 则max max ()()f x g x <.（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,， ()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈， 使得1()f x =2()g x 成立， 则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点， 则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0， 极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③1x e x ≥+ ④1x e x -≥-⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->⑦ sinx<x (0<x<π) ⑧lnx<x<xe (x>0)1 xx +一、有关切线的相关问题例题、【2019高考新课标1， 理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； 【答案】（Ⅰ）34a =跟踪练习：1、(2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ， g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， 且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ， b ， c ， d 的值；解：(1)由已知得f (0)＝2， g (0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ， g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2， d ＝2， a ＝4， d ＋c ＝4. 从而a ＝4， b ＝2， c ＝2， d ＝2.2、【2019高考新课标1， 理21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =， 1b =。

3、 (2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+， 曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞， 112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==， 故1,2a b == ……………6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用 （一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2019高考江苏， 19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭， ()0,+∞上单调递增， 在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞， 2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．当0a <时， ()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 时， ()0f x '>， 20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 所以函数()f x 在(),0-∞， 2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．练习：1、已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R . ⑴当12a ≤时， 讨论()f x 的单调性； 答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->， 222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->①当0a =时， ()1(0)h x x x =-+>， 当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>， 函数()f x 单调递增.②当0a ≠时， 由()0f x '=， 即210ax x a -+-=， 解得1211,1x x a==-. 当12a =时12x x =， ()0h x ≥恒成立， 此时()0f x '≤， 函数()f x 单调递减； 当102a <<时， 1110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><， 函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时， ()0,()0h x f x '<>， 函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时， ()0,()0h x f x '><， 函数()f x 单调递减.当0a <时110a-<， 当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>， 函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时， 函数()f x 在(0,1)单调递减， (1,)+∞单调递增；当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤， 函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1(1,)a-+∞递减.2、已知a 为实数， 函数()(1)e x f x ax =+， 函数1()1g x ax=-， 令函数()()()F x f x g x =⋅． 当0a <时， 求函数()F x 的单调区间．解：函数1()e 1x ax F x ax +=-， 定义域为1x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．当0a <时， 222222221()21()e e (1)(1)xx a a x a x a a F x ax ax +---++'==--． 令()0F x '=， 得2221a x a +=． ……………………………………9分 ①当210a +<， 即12a <-时， ()0F x '<．∴当12a <-时， 函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞， 1(,)a +∞．………………11分②当102a -<<时， 解2221a x a+=得122121a a x x ++==． ∵121a a +<∴令()0F x '<， 得1(,)x a ∈-∞， 11(,)x x a∈， 2(,)x x ∈+∞；令()0F x '>， 得12(,)x x x ∈． ……………………………13分 ∴当102a -<<时， 函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞， 121()a a +，21()a ++∞；函数()F x 单调增区间为2121(a a ++． …………15分 ③当210a +=， 即12a =-时， 由（2）知， 函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及(2,)-+∞2、根据判别式进行讨论例题：【2019高考四川， 理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+， 其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数， 评论()g x 的单调性； 【答案】（1）当104a <<时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增， 在区间114114(a a --+-上单调递减；当14a ≥时， ()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.【解析】（1）由已知， 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=. 当104a <<时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增， 在区间114114(a a--+-上单调递减； 当14a ≥时， ()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 练习： 已知函数()ln af x x x x=--， a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=， 得20x x a -++=， 记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时， ()0f x '≤， 所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时， 由()0f x '=得12114114a a x x ++-+==①若104a -<<， 则120x x >>，由()0f x '<， 得20x x <<， 1x x >；由()0f x '>， 得21x x x <<．所以， ()f x 的单调减区间为114(0,)a -+， 114(,)a+++∞， 单调增区间为114114(,)a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =， 由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1,)+∞；③若0a >， 则120x x >>，由()0f x '<， 得1x x >；由()0f x '>， 得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)a +++∞， 单调增区间为114(0,)a ++． ……9分综上所述：当14a -≤时， ()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)a-+， 114(,)a +++∞， 单调增区间为114114(,)a a -+++；当0a ≥时， ()f x 单调减区间为114(,)a+++∞， 单调增区间为114(0,)a++． ………………………………………………………10分2. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．求函数()f x 的单调区间；解：函数的定义域为()0,+∞， 222122()(1)ax x af x a x x x-+'=+-=． ……………1分 （1）当0a ≤时， 2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立， 此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分 （2）当0a >时， 244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>， 即()0h x >， 得211a x a -<或211a x a->； ………………5分由()0f x '<， 即()0h x <， 221111a a x --+-<<．………………………6分所以函数()f x 的单调递增区间为211(0,a a -和211()a a-+∞，单调递减区间为221111a a --+-． ……………………………………7分 （ⅱ）若1a ≥， ()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立， 则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， 此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． …………………………………………………………… 3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1， 求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()0f x >恒成立， 求a 的取值范围 解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分（2）由于()ln f x x x a x =--， (0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时， 则2()ln f x x ax x =--， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =， 得20804a a x +=>（负根舍去），且当0(0,)x x ∈时， '()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时， '()0f x >，所以()f x 在28(0,4a a +上单调减， 在28()4a a ++∞上单调增.……4分（ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =， 得2184a a x +=（284a a x a +=<舍），若284a a a +≤， 即1a ≥, 则'()0f x ≥， 所以()f x 在(,)a +∞上单调增；28a a a ++>，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时， '()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时， '()0f x >， 所以()f x 在区间28a a ++上是单调减， 在28()a a +++∞上单调增. ……………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =， 得2210x ax -+-=， 记28a ∆=-，若280a ∆=-≤， 即022a <≤则'()0f x ≤， 故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->， 即22a >则由'()0f x =得2384a a x -=， 2484a a x -=且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时， '()0f x <；当34(,)x x x ∈时， '()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >， 所以()f x 在区间28(0,4a a -上是单调减， 在2288a a a a --+-上单调增；在28()a a +-+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述， 当1a <时,()f x 单调递减区间是28a a ++ ， ()f x 单调递增区间是28()a a +++∞；当122a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ， ()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当22a >, ()f x 单调递减区间是(0, 28a a --)和28()a a a +-，()f x 单调的递增区间是2288(44a a a a -+-和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >， 得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时， 0x a -≥， ln 0xx<， 不等式*恒成立， 所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时， 10a -≥，ln 0xx=， 所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时， 不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-， 则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >， 所以()0h x '>， 从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <， 所以1a ≤． 令ln ()xg x x x=+， 则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-， 则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立， ()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述， 满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 2．设a 为实数， 函数2()||f x x x a =-（2）求函数()f x 的单调区间4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2019高考天津， 理20已知函数()n ,nf x x x x R =-∈， 其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；【答案】(I) 当n 为奇数时， ()f x 在(,1)-∞-， (1,)+∞上单调递减， 在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时，当()0f x '>， 即1x <时， 函数()f x 单调递增； 当()0f x '<， 即1x >时， 函数()f x 单调递减.所以， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. 5、已知单调区间求参数范围例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1， 2）是增函数， 求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++， 2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1， 则()0f x '≥， 且()0f x '=当且仅当a=1， x =-1， 故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0， 故当a<1时， ()0f x '=有两个根：121111,a ax x a a-+----==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞， x 2）或x ∈（x 1， +∞）时， ()0f x '>， 故f （x ）在（－∞， x 2）， （x 1， +∞）上是增函数；当x ∈（x 2， x 1）时， ()0f x '<， 故f （x ）在（x 2， x 1）上是减函数； （2）当a>0， x >0时, ()0f x '>， 所以当a>0时， f （x ）在区间（1， 2）是增函数.若a<0时， f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥， 解得504a -≤<. 综上， a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞U . 二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2019高考山东， 理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-， 其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数， 并说明理由；（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时， 0∆≤ ， ()0g x ≥ 所以， ()0f x '≥， 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时， 0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以， 1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以， 当()11,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()()0,0g x f x '<< ， 函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时， 0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '<< ， 函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时， 函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时， 函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时， 函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； 例题：【2019高考安徽， 理21】设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值， 有极值时求出极值；【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+， 22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-， 22x ππ-<<.因为22x ππ-<<， 所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时， 函数(sin )f x 单调递增， 无极值. ②当2,a b R ≥∈时， 函数(sin )f x 单调递减， 无极值. ③当22a -<<， 在(,)22ππ-内存在唯一的0x ， 使得02sin x a =. 02x x π-<≤时， 函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时， 函数(sin )f x 单调递增.因此， 22a -<<， b R ∈时， 函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.（二）已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷（理）】 设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时， 求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点， 求k 的取值范围。