目录导数专题一、单调性问题 (2)导数专题二、极值问题 (38)导数专题三、最值问题 (53)导数专题四、零点问题 (77)导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118)导数专题六、渐近线和间断点问题 (170)导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190)导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201)导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214)导数专题十、极值点偏移问题 (219)导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：1.最高次项系数是否为0；2.导函数是否有极值点；3.两根的大小关系；4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：（1）将函数f (x )单调增（减）转化为导函数f '(x)≥(≤)0恒成立；（2）f '(x)=g (x )h (x )，由g (x)> 0 （或g (x)< 0 ）可将f '(x)≥(≤)0恒成立转化为h (x )≥(≤)0（或h (x )≤(≥)0）恒成立；（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。
{ }【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；【例 1-1】（2015-2016 朝阳一模理 18）已知函数 f (x ) = x + a ln x , a ∈ R ．（Ⅰ）求函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）当 x ∈[1, 2]时，都有 f (x ) > 0 成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点P (1，3) 可作多少条直线与曲线 y = f (x ) 相切？并说明理由．f (x ) 的定义域为 x x > 0 ． f '(x ) = 1+ a =x + a ．xx（1）当 a ≥ 0 时， f '(x ) > 0 恒成立，函数 f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增；（2）当 a < 0 时， 令 f '(x ) = 0 ，得 x = -a ．当0 < x < -a 时， f '(x ) < 0 ，函数 f (x ) 为减函数； 当 x > -a 时， f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 为增函数．综上所述，当 a ≥ 0 时，函数 f (x ) 的单调递增区间为(0, +∞) ．当a < 0 时，函数 f (x ) 的单调递减区间为(0, -a ) ，单调递增区间为(-a ，+∞) ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当-a ≤ 1 时，即 a ≥ -1 时，函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上为增函数，所以在区间[1, 2] 上， f (x )min = f (1) = 1 ，显然函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上恒大于零；（2）当1 < -a < 2 时，即-2 < a < -1 时，函数 f (x ) 在[1，- a ) 上为减函数，在(-a , 2] 上为增函数，所以 f (x )min = f (-a ) = -a + a ln(-a ) ．依题意有 f (x )min = -a + a ln(-a ) > 0 ，解得 a > -e ，所以-2 < a < -1 ． （3）当-a ≥ 2 时，即 a ≤ -2 时， f (x ) 在区间[1, 2] 上为减函数， 所以 f (x )min = f (2) = 2+a ln 2 ．依题意有 f (x )min = 2+aln 2 > 0 ，解得 a > - 2 ln 2 ，所以-2ln 2< a ≤ -2 ．x x综上所述，当 a > -2ln 2时，函数 f (x ) 在区间[1, 2] 上恒大于零．（Ⅲ）设切点为（x , x +a ln x ) ，则切线斜率 k = 1 +a，切线方程为 y - (x + a ln x ) = (1 +x 0a)(x - x ) ．因为切线过点 P (1,3) ，则3 - (x + a ln x ) = (1 + a)(1 - x ) ．即 a (ln x 0 +0 -1) - 2 = 0 ． ………………①令 g (x ) = a (ln x + 1-1) - 2 (x > 0) ，则 g '(x ) = a ( 1- 1 ) = a (x -1) ．x（1）当 a < 0 时，在区间(0,1) 上， g '(x ) > 0 ， x x 2x 2g (x ) 单调递增；在区间(1, +∞) 上， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，所以函数 g (x ) 的最大值为 g (1) = -2 < 0 ．故方程 g (x ) = 0 无解，即不存在 x 0 满足①式． 因此当 a < 0 时，切线的条数为0 ．（2）当 a > 0 时, 在区间(0,1) 上， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，在区间(1, +∞) 上， g '(x ) > 0 ， g (x ) 单调递增， 所以函数 g (x ) 的最小值为 g (1) = -2 < 0 ．1+ 2 2 -1- 2-1- 2 取 x 1 = ea> e ，则 g (x 1 ) = a (1+ + e aa -1) - 2 = a e a > 0 ．故 g (x ) 在(1, +∞) 上存在唯一零点．-1-212 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2取 x 2 = e < e ， 则 g (x 2 ) = a (-1- a + e a -1) - 2 = a e a - 2a - 4 = a [e a - 2(1+ )] ． a设t = 1 + 2(t > 1) ， u (t ) = e t - 2t ，则u '(t ) = e t- 2 ．a1xa当t > 1 时， u '(t ) = e t- 2 > e - 2 > 0 恒成立．所以u (t ) 在(1, +∞) 单调递增， u (t ) > u (1) = e - 2 > 0 恒成立．所以 g (x 2 ) >0 ． 故 g (x ) 在(0,1) 上存在唯一零点． 因此当 a > 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线．（3）当 a = 0 时， f (x ) = x ，显然不存在过点 P (1，3) 的切线．综上所述，当 a > 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线； 当 a ≤ 0 时，不存在过点 P (1，3) 的切线． 【例 1-2】（2015-2016 海淀一模理 18）已知函数 f ( x ) = ln x + 1 -1 ， g ( x ) = x -1.x （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小值；（Ⅱ）求函数 g (x ) 的单调区间；(Ⅲ) 求证：直线 y = x 不是曲线 y = g (x ) 的切线.ln xf (x ) 的定义域为(0, +∞)，f '( x ) = 1 - 1= x - 1x x 2 x 2当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 的变化情况如下表：函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的极小值为 f (a ) = ln1 + 1- 1 = 0 ，1所以 f (x ) 的最小值为0（Ⅱ）解：函数 g (x ) 的定义域为(0,1) Y (1, +∞) ，ln x - ( x -1) 1 ln x + 1-1g '( x ) = x = x =f ( x ) ln 2 x ln 2 x ln 2 x由（Ⅰ）得， f ( x ) ≥ 0 ，所以 g '(x ) ≥ 01 210 0所以g (x) 的单调增区间是(0,1),(1, +∞) ，无单调减区间.（Ⅲ）证明：假设直线y =x 是曲线g(x) 的切线.ln x+x-1设切点为(x0 , y0 ) ，则g '(x0 ) =1，即0=1ln2 x又 y =x-1, y =x ，则x-1=x .ln xln x所以ln x0=x-1= 1-1xx, 得g '(x0 ) = 0 ，与g '(x0 ) = 1矛盾所以假设不成立，直线y =x 不是曲线g(x) 的切线【练1-1】（2015-2016 西城一模理18）已知函数f ( x) =xe x -ae x -1 ，且f ' (1) =e . (Ⅰ) 求a 的值及f (x) 的单调区间；(Ⅱ) 若关于x 的方程f ( x) =kx2 - 2(k > 2) 存在两个不相等的正实数根x , x ，证明：x -x > ln4.1 2 ef ( x) 求导，得 f '(x) = (1+x)e x -a e x-1 ，所以 f '(1) = 2e -a = e ，解得a =e.故 f (x) =x e x -e x ， f '(x) =x e x.令 f '(x) = 0 ，得 x = 0 .当x 变化时， f '( x) 与f (x) 的变化情况如下表所示：所以函数 的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）解：方程 f (x) =kx2 - 2 ，即为(x -1)e x -kx2 + 2 = 0 ，设函数 g(x) = (x -1)e x -kx2 + 2 .求导，得g'(x) =x e x - 2kx =x(e x - 2k) ．由g'(x) = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = ln(2k) .所以当x ∈ (0, +∞) 变化时，g'(x) 与g(x) 的变化情况如下表所示：002(x +x -(0, ln(2k )) (ln(2k ), +∞) 由k > 2 ，得ln(2k ) > ln 4 > 1 . 又因为 g (1) = -k + 2 < 0 ， 所以 g (ln(2k )) < 0 .不妨设 x 1 < x 2 （其中 x 1, x 2 为 f (x ) = kx 2 - 2 的两个正实数根），因为函数 g (x ) 在(0, ln 2k ) 单调递减，且 g (0) = 1 > 0 ， g (1) = -k + 2 < 0 ， 所以0 < x 1 < 1.同理根据函数 g (x ) 在(ln 2k , +∞) 上单调递增，且 g (ln(2k )) < 0 ， 可得 x 2 > ln(2k ) > ln 4，所以| x - x |= x - x > ln 4 -1 = ln 4，1 2 2 1e即 | x 1 - x 2|> ln 4 . e【练 1-2】（2011-2012 石景山一模文 18）已知函数 f (x ) = x 2+ 2a ln x .（Ⅰ）若函数 f (x ) 的图象在(2, f (2)) 处的切线斜率为1 ，求实数 a 的值；（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）若函数 g (x ) = 2 + f (x ) 在[1, 2] 上是减函数，求实数 a 的取值范围.x2a 2x 2 + 2a f '(x ) = 2x + =1 分x x由已知 f '(2) = 1，解得 a = -3 .............................................................. 3 分 （II ）函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) .（1）当 a ≥ 0 时, f '(x ) > 0 ， f (x ) 的单调递增区间为(0, +∞)；……5 分（2）当 a < 0 时 f '(x ) =.x当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下：2由上表可知，函数 f (x ) 的单调递减区间是；单调递增区间是+∞) ................................................................ 8 分（II ）由 g (x ) = 2 + x 2+ 2a ln x 得 g '(x ) = - 2 xx2+ 2x +2a ， ....... 9 分x由已知函数 g (x ) 为[1, 2] 上的单调减函数， 则 g '(x ) ≤ 0 在[1, 2] 上恒成立， 即- + 2x +2a≤ 0 在[1, 2] 上恒成立. x 2x即 a ≤ 1 - x 2在[1, 2] 上恒成立 ................................ 11 分x令h (x ) = 1- x 2，在[1, 2] 上 h '(x ) = - 1 - 2x = -( 1+ 2x ) < 0 ，x所以 h (x ) 在[1, 2] 为减函数.h (x )minx 2 x 2= h (2) = - 7, 2所以 a ≤ -7 .......................................................................................... 14 分2【练 1-3】（2015-2016 朝阳期末文 19）已知函数 f (x ) = (2k -1) ln x + k + 2x ， k ∈ R .x（Ⅰ）当 k = 1 时，求曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 k = e 时，试判断函数 f (x ) 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数 f (x ) 的单调区间.【答案】函数 f (x ) 的定义域： x ∈ (0,+∞) .f '(x ) = 2k - 1 - k x x 2 + 2 = 2x 2 + (2k - 1)x - k x2= (x + k )(2x - 1) .x 2（Ⅰ）当 k = 1 时， f (x ) = ln x + 1x+ 2x .f '(x ) = (x + 1)(2x - 1) .x 2有 f (1) = ln1 + 1 + 2 = 3 ，即切点（1,3），k = f '(1) =(1 + 1)(2 - 1)= 2 .12所以曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处切线方程是 y - 3 = 2(x -1) ，即 y = 2x + 1.（Ⅱ）若 k = e ， f (x ) = (2e -1) ln x + e+ 2x .xf '(x ) = (x + e)(2x -1) .x 2令 f '(x ) = 0 ，得 x 1 = -e （舍）， x 2= 1.2则 f (x )=1= (2e -1) ln 1 + e + 2 ⋅ 1= 2(1 - ln 2)e + ln 2 + 1 > 0 .minf ( )22 122所以函数 f (x ) 不存在零点.（Ⅲ） f '(x ) = (x + k )(2x - 1) .x2当- k ≤ 0 ，即 k ≥ 0 时，当- k > 1，2(0,) ， (-k ,+∞) ； 2即 k < - 2时， f (x ) 的单调增区间是当0 < -k <1，即- 122< k < 0 时，当- k =，即 k = - 时，2 2综上 k ≥ 0 时， f (x ) 的单调增区间是( 1,+∞) ;减区间是 2(0, 1 ) .2 1⎨1 当- < k < 0 时， f (x ) 的单调增区间是(0,-k ) , ( 12 2 1,+∞) ;减区间是(-k , 1 ) .2当 k = - 2 1 时， f (x ) 的单调增区间是(0,+∞) ;1 1当 k < - 2时， f (x ) 的单调增区间是(0, ) ， (-k ,+∞) ;减区间是( 2 2 ,-k) . 【练1（2015-2016 丰台期末文 20）设函数 f ( x ) = x 3 + ax 2+ bx 的图象与直线 y = -3x + 8相切于点 P (2, 2) ． （Ⅰ）求函数 f (x ) 的解析式；（Ⅱ）求函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）设函数 g (x ) = 1x 3-m +1 x 2 + mx - 1(m > 1) ，对于∀ x ∈[0, 4] , ∃ x ∈[0, 4] ，32 3 1 2使得 f ( x 1 ) = g ( x 2 ) ，求实数 m 的取值范围.f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx 的图象与直线 y = -3x + 8 相切于点 P (2, 2) ，∴ f '(2) = -3 ， f (2) = 2 ．∵ f '( x ) = 3x 2 + 2ax + b ，⎧8 + 4a + 2b = 2∴ ⎨ ⎩3⨯ 22+ 2a ⨯ 2 + b = -3⎧a = -6 解得 ． ⎩b = 9∴ f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 9x ．（Ⅱ） f '( x ) = 3x 2 -12x + 9 = 3( x -1)( x - 3) ， 令 f '(x ) > 0 ，得 x < 1或 x > 3 ； 令 f '(x ) < 0 ，得1 < x < 3 ．∴ f (x ) 的单调递增区间为(-∞,1) ， (3, +∞) ；单调递减区间为(1,3) ． …8 分 （Ⅲ）记 f (x ) 在[0, 4] 上的值域为 A , g (x ) 在[0, 4] 上的值域为 B ，∵对于∀x1 ∈[0, 4]，∃x2 ∈[0, 4]，使得f ( x1 ) =g ( x2 ) ，∴A ⊆B ．由（Ⅱ）得：f (x) 在[0,1]上单调递增，在(1,3) 上单调递减，在[3, 4]上单调递增，f (0) = 0 ，f (1) = 4 ，f (3) = 0 ，f (4) = 4 ，∴A =[0, 4]．∵g(x) =1x3 -m +1x2 +mx -1(m > 1) ，3 2 3∴g '(x) =x2 - (m +1)x +m = (x -1)(x -m)．1 当1 <m < 4 时，g(x) 在[0,1]上单调递增，在[1, m]上单调递减，在[m, 4]上单调递增，∴g(x) 的最小值为g(0) 或g(m)，g(x) 的最大值为g(1) 或g(4) ．∵g(0) =-1< 0 ，且A ⊆B ，3∴g(1) ≥ 4 或g(4) ≥ 4 ，∴g(1) =1m -1≥ 4 或g(4) =-4m +13 ≥ 4 ，2 2即m ≥ 9 或m ≤9 ．4 又∵1 <m < 4 ，∴1 <m ≤9 ．42 当m ≥ 4 时，g(x) 在[0,1]上单调递增，[1, 4]上单调递减，∴g(x) 的最小值为g(0) 或g(4) ，g(x) 的最大值为g(1) ．∵g(0) =-1< 0 ，且A ⊆B ，3 ∴g(1) ≥4 ，， 1 = ∴ 1 m - 1≥ 4 ，即 m ≥ 9 ．2 2综上所述：1 < m ≤ 9或 m ≥ 9 ．41 【练 1-5】（2015-2016 朝阳二模文 20）已知函数 f (x ) = ax - - (a +1) ln x , xa ∈ R .(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间；1（Ⅱ）当 a ≥ 1 时，若 f (x ) > 1 在区间[ , e] 上恒成立，求 a 的取值范围.e' ax 2 - (a +1)x +1 (ax -1)(x -1) 【答案】(Ⅰ) 函数 f (x ) 的定义域为{x x > 0} , f (x) =2 2 . x x（1） 当 a ≤ 0 时， ax -1 < 0 ,令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1，则函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1)令 f '(x ) < 0 ，解得 x > 1 ，函数 f (x ) 单调递减区间为（1，+∞）.所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ，单调递减区间为（1，+∞）.1（2） 当0 < a < 1时， a> 1 ,令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1或 x > 1，则函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ；a 令 f '(x ) < 0 ，解得1 < x < 1 ，函数 f (x ) 单调递减区间为（1 1) .a a1 1所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(0，1) ，（ ，+∞) ，单调递减区间为（1， ) .（3） 当 a = 1时， f'(x )= a (x -1)2x 2a≥ 0 恒成立，所以函数 f (x ) 的单调递增区间为（0，+∞) .（4） 当 a >1时， 0 << 1,a令 f '(x ) > 0 ，解得0 < x < 1或 x > 1 ，则函数 f (x ) 的单调递增区间为（0) ，（1，+∞) ；， aa令 f '(x ) < 0 ，解得 1 < x < 1 ，则函数 f (x ) 的单调递减区间为( 1，1) .aa1 1所以函数 f (x ) 的单调递增区间为（0， ) ，（1，+∞) ，单调递减区间为( a a，1) （Ⅱ）依题意，1< < 1在区间[ , e] e上 f (x ) min > 1.' ax 2 - (a +1)x +1 (ax -1)(x -1)f (x ) = = ， a ≥ 1 .x 2 x 2令 f '(x ) = 0 得， x =1或 x = 1.a若 a ≥ e ，则由 f '(x ) > 0 得，1 < x ≤ e ，函数 f (x ) 在(1, e )上单调递增.由 f '(x ) < 0 得， 1 ≤ x < 1,函数 f (x ) 在( 1,1)上单调递减.e e所以 f (x )min = f (1) = a -1 > 1，满足条件；若1 < a < e ，则由 f '(x ) > 0 得， 1 < x < 1或1 < x < e ；ea由 f '(x ) < 0 得， 1< x < 1 .a1 1 1 函数 f (x ) 在(1, e ), ( , ) 上单调递增,在( ,1) 上单调递减.e aa1f (x )min = min{ f ( e), f (1)}，⎧ 1 ⎧ e 2 ⎪ f ( ) > 1依题意⎨ e ⎪a > ，即⎨ e +1 ，所以2 a e ； ⎪⎩ f (1) > 1 若 a = 1，则 f '(x ) ≥ 0 .1 ⎩⎪ a > 21所以 f (x ) 在区间[ e , e] 上单调递增， f (x )min = 综上， a > 2 . f ( ) > 1，不满足条件；e1 【练 1-6】（2015-2016 房山二模文 19）已知函数 f ( x ) = x + ex（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间；（Ⅱ）若直线 y = kx 与曲线 y = f ( x ) 没有公共点，求实数k 的取值范围。