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导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选1.(2010·海南高考·理科T3)曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为() (A )21y x =+(B )21y x =-(C )23y x =--(D )22y x =--【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22(2)y x '=+,所以,在点()1,1--处的切线斜率1222(12)x k y =-'===-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A.2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C ,2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去),当9x <时'0y >;当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值,也是最大值,故选C.3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为() (A )112(B)14 (C)13 (D)712【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标,再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为1230x -x )dx=⎰(1111-1=3412⨯⨯,故选A. 4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P 在曲线y=41x e +上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()(A)[0,4π)(B)[,)42ππ3(,]24ππ(D)3[,)4ππ 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域,即tan α的范围,再根据正切函数的性质求α的范围。

【规范解答】选D.5.(2010·湖南高考理科·T4)421dx x⎰等于() A 、2ln 2-B 、2ln 2C 、ln 2-D 、ln 2【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住x1的原函数. 【规范解答】选D.421dx x⎰=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.(2010·江苏高考·T8)函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,k N *∈其中,若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是________ 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由0y =,即可求得切线与x 轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x 2(x>0)得,2y x '=,所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:22(),k k k y a a x a -=-当0y =时,解得2ka x =, 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=. 【答案】217.(2010·江苏高考·T14)将边长为1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记2(S =梯形的周长)梯形的面积,则S 的最小值是________。

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ,然后用x 分别表示梯形的周长和面积,从而将S 用x 表示,利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ,则:222(3)(01)1x S x x-==<<- 方法一:利用导数的方法求最小值。

22(3)()1x S x x -=-,2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=- 1()0,01,3S x x x '=<<=,当1(0,]3x ∈时,()0,S x '<递减;当1[,1)3x ∈时,()0,S x '>递增; 故当13x =时,S的最小值是。

方法二:利用函数的方法求最小值令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈,则:222186681t S t t t t==-+--+- 故当131,83x t ==时,S。

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。

高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。

8.(2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x,y ),则点M 取自阴影部分的概率为;【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。

【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为1123003 1.S x dx x ===⎰阴影所以点M 取自阴影部分的概率为11313S P S ===⨯阴影长方形 答案:139.(2010·海南高考·理科T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx ⎰,先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数1x ,2x …,N x 和1y ,2y …,N y ,由此得到N 个点(,)i i x y (i=1,2,…,N ),在数出其中满足1y ≤1()f x ((i=1,2,…,N ))的点数1N ,那么由随机模拟方法可得积分10()f x dx ⎰的近似值为.【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知,,x y 所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足i y ≤()i f x 的点(,)i i x y 落在y=f(x)、0y =以及1x =、0x =围成的区域内,由几何概型的计算公式可知1()f x dx ⎰的近似值为1N N. 答案:1N N10.(2010·北京高考理科·T18)已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x ,(k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。

解决本题时一个易错点是忽视定义域。

【思路点拨】(1)求出'(1)f ,再代入点斜式方程即可得到切线方程;(2)由k 讨论'()f x 的正负,从而确定单调区间。

【规范解答】(I )当2k =时,2()ln(1)f x x x x =+-+,1'()121f x x x=-++ 由于(1)ln 2f =,3'(1)2f =, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 即322ln 230x y -+-=(II )1(1)'()111x kx k f x kx x x+-=-+=++,(1,)x ∈-+∞. 当0k =时,'()1xf x x=-+.所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <.故()f x 的单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时,由1()'()01kkx x k f x x --==+,得10x =,210k x k-=> 所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)kk-上,'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞,单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时,2'()1x f x x=+故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时,1()'()01kkx x k f x x --==+,得11(1,0)k x k-=∈-,20x =. 所以在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)kk-上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)kk- 【方法技巧】(1)()y f x =过00(,())x f x 的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。

(2)求单调区间时要在定义域内讨论'()f x 内的正负。

11.(2010·安徽高考文科·T20)设函数()sin cos 1f x x x x =-++,02x π<<,求函数()f x 的单调区间与极值。

【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。

【思路点拨】对函数()f x 求导,分析导数()f x '的符号情况,从而确定()f x 的单调区间和极值。

【规范解答】+ -0 +极大值极小值【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,简单易行,具体操作流程如下: (1)求导数'()f x ;(2)求方程'()0f x =的全部实根;(3)列表,检查'()f x 在方程'()0f x =的根左、右的值的符号; (4)判断单调区间和极值。

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