切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的
函数,则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始
终为0, 即一直处于静止状态.
2. 函数 y f x x的导数
y
因为y f x x f x
x
x
x x x 1, x
所以 y` lim y lim 1 1. x0 x x0
x
x
x
x x x x x x x x x x
1

,
x x x
所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
yx O
x
图1.2 2
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的
切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数,则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图解,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1.2. 导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
我们知道, 导数的几何意义是曲线在某 点 处 的 切 线 的 斜 率, 物 理 意 义 是 运 动 物 体在某一时刻的瞬时速度.那么, 对于函
数 y f x,如何求它的导数呢?
根据函数的定义,求函数y f x的导数,
就是求出当x趋近于0时, y 所趋于的那 x
个定值.
下面我们求几个常用函数的导数.
1. 函数 y f x c的导数
因为y f x x f x
x
x
y yc
c c 0, x
所以 y` lim y lim 0 0. x0 x x0
O
x
图1.2 1
y` 0表示函数 y c图象1.2 1上每一点处的
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x,
y y x2
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化另. 一方面,从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加, y x2增加得越来越快. 若y x2表示路程关于时
所以
y`
lim
x0
y x

lim x0
x2
1 x
x



1 x2
.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象,描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1处的切线方程.
5. 函 数 y f x x 的 导 数
因为y f x x f x x x x
1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一
个增加得最慢?
3函数 y kx k 0 增 减的快慢与什么
有关?
3. 函数 y f x x2 的导数
因为y f x x f x
x
x
x x2 x2
间的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数,则 y' 2x,可以解释为某物体作变速运 动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数 y f x 1 的导数
x
11
因为y

f x x
f x

x x x
x
x
x
x x x
1
xx xx x2 x x ,