选修1-2 3.2.1~3.2.2常数与幂函数的导数
导数公式表
一、选择题
1．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )
A ．x －y －1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0
[答案] A
[解析] ∵y ′＝12x ，y ′|x ＝2＝12×2＝1，
∴抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线斜率为1，
方程为x －y －1＝0.
2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D.12
[答案] D
[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.
3．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3
＝( )
A.12
B ．－12 C.32
D ．－32
[答案] A
[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3
＝cos π3＝12.
4.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx
表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率
B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率
C ．曲线y ＝－x 2的斜率
D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率
[答案] B
[解析] 由导数的意义可知，lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx
表示曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率． 5．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )
A ．－32
B ．－12
C ．0 D.12
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
6．下列命题中正确的是( )
①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x
②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1
③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②③
[答案] C
[解析] 当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，
当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.
7．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( )
A ．(π3，32
) B ．(－π3，－32)或(π3，32)
C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z )
D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )
[答案] D
[解析] 由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )．
所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )．
8．给出下列函数
(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x
(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′
其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] (1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′
＝cos x －sin x ∈[－2，2]．
(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．
(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.
(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x ) ＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦
⎤－12，12. 9．下列结论正确的是( )
A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x
B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x
C ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2
D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2
[答案] C
[解析] ∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭
⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2，故C 正确． 10．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不能确定
[答案] B
[解析] 设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1
得x 0＝±33，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫33
，39或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39，所以有2条． 二、填空题
11．若函数y ＝cos t ，则y ′|t ＝6π＝____________.
[答案] 0
[解析] y ′＝(cos t )′＝－sin t ，y ′|t ＝6π＝－sin6π＝0.
12．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是____________________________．
[答案] y ＝x －1
[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)
∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1.
13．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝________.
[答案] 35
x －25 [解析] ∵f (x )＝5x 3＝x 3
5，∴f ′(x )＝35x －25. 14．曲线y ＝2x 4＋3x 的斜率等于－5的切线的方程为____________．
[答案] 5x ＋y ＋6＝0
[解析] y ′＝8x 3＋3，令8x 3＋3＝－5，
∴x ＝－1，y ＝－1，
∴切点为(－1，－1)，切线方程为5x ＋y ＋6＝0.
三、解答题
15．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程．
[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，
∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32
. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6
)， 化简得63x －12y ＋6－3π＝0.
16．求抛物线y ＝14x 2过点(4，74
)的切线方程． [解析] ∵点⎝⎛⎭
⎫4，74不在抛物线y ＝14x 2上， ∴设切点为(x 0，y 0)，
由题意，得切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，
切线方程为y －74＝12x 0(x －4)，
又点(x 0，y 0)在切线上，
∴y 0－74＝12x 0(x 0－4)，
又点(x 0，y 0)又在抛物线y ＝14x 2上，∴y 0＝14x 20
， ∴14x 20－74＝12x 20－2x 0，解得x 0＝1或7，
∴切点为⎝⎛⎭⎫1，14或⎝⎛⎭
⎫7，494， 所求的切线方程为：2x －4y －1＝0或14x －4y －49＝0.
17．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．
[解析] 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切
的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线
y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P (x 0，y 0)，∵y ′＝(e x )′＝e x ，
∴由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，
代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最短距离为22.
18．(2010·陕西文，21(1))已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .
若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．
[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题及解决问题的能力．
f ′(x )＝12x
，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，
∴切线的方程为y －e ＝12e
(x －e 2)．。