1.2.1常数函数与幂函数的导数
预习案
一、自学教材,思考下列问题
1.导数的概念
2.导数的几何意义
二、一试身手
利用导数的定义求下列函数的导数:
(1)f(x)=2 (2)f(x)=x
(3)f(x)=x+1 (4)f(x)=x2
导学案
一、学习目标
(1)知识与技能
能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数
(2)过程与方法
在教学过程中,注意培养学生桂南、探求规律的能力
(3)情感态度价值观
提高学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,培养探索精神
二、学习过程
(1)课内探究
问题1:常数函数的导数是什么?
问题2:运用导数的定义求下列几个幂函数的导数
(1)y=x (2)y=x 2(3)y=x 3(4)1y x
=(5)y
问题3:通过以上五个幂函数的求导过程,你有没有发现求幂函数的导数的规律?
问题4:幂函数a y x =的导数是什么?
(2) 典型例题
例1 求 (1)(x 3)′ (2)(
2
1x )′ (3)(x )′
例2质点运动方程是5
1t s =
, 求质点在2=t 时的速度.
(3) 当堂检测 1.已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数;语句:q 函数()y f x =是一次函数,则语句p 是语句q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-,则函数图象在点(4(4))f ,处的切线的倾斜角
为()
A.90°B.0°C.锐角D.钝角3、求下列函数的导数
3
2
1
(1) y2 1 (2)y (3)y
x
x
=+==
2
1
36
3
2
'
)1(x
x
y=
⨯
=-
解:
3
3
1
2
2
2
2
2
)
(2
)'
(
)'
1
(
'
:
)2(
x
x
x
x
x
y-
=
-
=
-
=
=
=-
-
-
-
解
x
x
x
x
x
y
2
)
(
2
1
)'
(
)'
(
'
)3(2
1
2
1
=
=
=
=-
解:
52
5
2
5
3
53
5
3
)
(
5
3
)'
(
)'
(
'
)4(
x
x
x
x
y=
=
=
=-
解:
(4)课堂小结
本节课学习了常数函数与幂函数的导数.
拓展案
一、选择题
1.()
f x与()
g x是定义在R上的两个可导函数,若()()
f x
g x
,满足()()
f x
g x
''
=,则()
f x与()
g x满足()
A.()()
f x
g x
=B.()()
f x
g x
-为常数
C.()()0
f x
g x
==D.()()
f x
g x
+为常数
二、填空题
2.设32
()391
f x x x x
=--+,则不等式()0
f x
'<的解集是.
3.曲线
1
y
x
=和2
y x
=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.三、解答题
4.求过曲线cos
y x
=上点
π1
32
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,且与过这点的切线垂直的直线方程.
答案:
典型例题
例1解:(1) (x 3)′=3x 3-1=3x 2;
(2) (21x
)′=(x -2)′=-2x -2-1=-2x -3 (3) x
x x x x 212121)()(2112121
==='='-- 例2解:∵ 51t s =
, ∴ 6555)()1(---='='='t t t
s , ∴ 64
52562-=⨯-='-=t s . 答:质点在2=t 时的速度是64
5-. 当堂检测
1.答案:B
2.答案:C
3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x
=+===2
13632')1(x x y =⨯=-解:3
3122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解x
x x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解:5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解:
拓展案
1.答案:B
2.答案:(13)-,
3.答案:34
4.解: sin y x '=- ,曲线在点π132P ⎛⎫
⎪⎝⎭,处的切线的斜率是πsin 32
-=-. ∴过点P
. ∴所求的直线方程为1π
23y x ⎫-=-⎪⎭,
即2π2032x -
+=.。