第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求 1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值
4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法 A.求偏导、全微分
1.)(x f 有二阶连续偏导，)sin (y e f z x =满足z e z z x
yy xx 2''''=+，求
)(x f
解：u u e c e c u f f f -+=⇒=-21)(0''
2.y
x z y x y xy f x z ∂∂∂++=2)()(1，求ϕ
3.决定由0),,(),()(),(=+===z y x F y x xf z x z z x y y ，求dx dz /
B.空间几何问题
4.求a z y x =++上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之
和。
解：a d a z z y y x x =⇒=++000///
5.曲面21322
2
2
=++z y x 在点)2,2,1(-处的法线方程。
C.极值问题
6.设),(y x z z =是由01821062
22=+--+-z yz y xy x 确定的函数，
求),(y x z z =的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.y
x z
x y g y x xy f z ∂∂∂+=2),(),(求
2.x
z x y g y x xy f z ∂∂+=求)),(,
(
3.dz x
y
y x u u z 求,arctan
,ln ,2
2=+==ϕϕ 第五讲 多元函数的积分
一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθϕθϕϕθϕθθθθθϕϕθϕθθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
⎰⎰
++=⇒=D
y x dxdy z z A y x f z 2
2''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
⎰
⎰⎰⎰⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧+⇒=+⇒⎩⎨⎧==+⇒==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅++==L S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:
二、题型与解法 A.重积分计算
1.Ω+=⎰⎰⎰Ω
,)(2
2
dV y x I 为平面曲线⎩⎨⎧==0
22x z
y 绕z 轴旋转一周与z=8
的围域。
解：3
1024)(20
220
80
22
28
22
π
θπ=
=+=
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.⎰⎰
--+=
D
D dxdy y x a y x I ,42
2222为)0(22>-+-=a x a a y 与
x y -=围域。
（)2
1
16(
2
2
-=πa I 3.⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他
,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求
⎰⎰
≥+D
x y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分 4.⎰
-++-=L
x x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-=
解：令A y O L 至沿从01= 3220
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=---=-=
⎰⎰⎰⎰⎰+
5.⎰+-=
L y x ydx
xdy I 224,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos 2:1r y r x L ，
π==∴=-=⎰
⎰⎰
⎰⎰-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
0)()(2=--⎰⎰
S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且)(x f 在x>0有连续一
阶导数，1)(lim 0=+
>-x f x ,求)(x f 。
解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
--+=⋅∇=⋅=s
x dV e x xf x xf x f dV F S d F ))()(')((02
)1(1)11('2-=
⇒=-+x
x x e x
e y e x y x y 第七讲 无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别
级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
2.幂级数
幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与Maclaulin 展开
3.Fourier 级数
了解Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理 会求],[l l 的Fourier 级数与],0[l 正余弦级数。