2020年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．（5分）设集合{|32M m m =-<<，}m Z ∈，N R =，则M N =I ．
2．（5分）复数1i z i
=+复平面上对应的点位于第 象限． 3．（5分）某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为 ．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．
5．（5分）抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落
于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y
为整数的概率是 ． 6．（5分）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 ．
7．（5分）已知双曲线22135x y m m +=-+的离心率为43
，那么此双曲线的准线方程为 ． 8．（5分）已知正四棱锥P ABCD -的体积为43
，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ． 9．（5分）已知函数()sin()(02)6f x x πωω=+<<，若2()13
f π=，则函数()y f x =的最小正周期为 ．
10．（5分）已知等差数列{}n a 满足：18a =-，26a =-．若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数m ，
所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ． 11．（5分）设函数()3sin()3f x x ππ=+和()sin()6
g x x π
π=-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M ，N ，已知O 为原点，则OM ON =u u u u r u u u r g ．
12．（5分）设()sin 2cos2(f x a x b x a =+，)b R ∈，若()f x 的最大值为5，则a b +的取值
范围为 ．
13．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2b =，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则2a c +的最小值为 ．
14．（5分）已知正实数x ，y 满足24310x y x y
+++=，则xy 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量
(sin ,),(1,sin )m A a n B ==r r
（1）当2sin m n A =r r g 时，求b 的值；
（2）当//m n r r 时，且1cos 2
C a =，求tan tan A B g 的值． 16．（14分）如图，四棱锥A BCDE -中，AB 、BC 、BE 两两垂直且AB BC BE ==，
//DE BC ，2DE BC =，F 是AE 的中点．
（1）求证：//BF 面ACD ；
（2）求证：面ADE ⊥面ACD ．
17．（14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向（即3)4
AOB π∠=．现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ．假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ．
（1）求两站点A ，B 之间距离的最小值；
（2）公路MO 段上距离市中心30O km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路L 及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？
18．（16分）已知点M 是圆22:(1)8C x y ++=上的动点，定点(1,0)D ，点P 在直线DM 上，
点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，0NP DM =u u u r u u u u r g ，动点N 的轨迹为曲线E ．
（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的最大值．
19．（16分）设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，q 为非零常数，已知对任意正整
数n ，m ，m n m m n S S q S +=+总成立．
（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数m ，k ，h 成等差数列，试比较m h m h a a g 与2k k a 的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数m ，k ，h 成等比数列，试比较11m h m h a a g 与2k k
a 的大小．
20．（16分）已知函数()x f x e ax =+，()(x g x e lnx e =是自然对数的底数）．
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-切线，求a 的值；
（2）若对于任意x R ∈，()0f x >恒成立，试确定实数a 的取值范围；
（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率
与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由．
[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）[选修4-2：矩阵与变换]（10分）
21．（10分）设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在极坐标系中，求曲线2cos ρθ=关于直线()4R πθρ=
∈对称的曲线的极坐标
方程．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，求函
数
()((f x a b =-- [必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
24．（10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机
抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．
（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）若考生乙每题正确完成的概率都是23
，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
25．（10分）已知30123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+⋯+-，（其中*)n N ∈
（1）求0a 及1n
n i i S a ==∑；
（2）试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由．。