2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科(理科) 2014、1
一． 填空题:(本题满分56分,每小题4分)
1.计算:210
lim
______323
n n n →∞+=+.
2.函数sin 2cos 2y x x =得最小正周期就是_______________.
3.计算:12243432⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
_______________.
4.已知3sin x =,,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,则x = .(结果用反三角函数值表示)
5.直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=,若1l 得方向向量就是2l
得法向量,则实数=a
.
6. 如果11111()123
12
n f n n n =+
+++++++(*n N ∈)那么(1)()f k f k +-共有 项. 7.若函数()f x 得图象经过(0,1)点,则函数(3)f x +得反函数得图象必经过点_______.
8.某小组有10人,其中血型为A 型有3人,B 型4人,AB 型3人,现任选2人,则此2人就是同一血型得概率为__________________.(结论用数值表示)
9.双曲线2
2
1mx y +=得虚轴长就是实轴长得2倍,则m =____________.
10.在平面直角坐标系中,动点P 与点()2,0M -、()2,0N 满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=,则动点
(),P x y 得轨迹方程为__________________.
11.某人5次上班途中所花得时间(单位:分钟)分别为,,10,11,9x y .已知这组数据得平均数为 10,方差为2,则x y -得值为___________________.
12.如图所示,已知点G 就是ABC ∆得重心,过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点,且,AM x AB AN y AC ==,则xy
x y
+得值为_________________. 13.一
个五位
数
,,,abcde a b b c d d e <>><满足且,(37201,45412a d b e >>如），则称
这个五位数符合“正弦规律”.那么,共有_______个五位数符合“正弦规律”. 14.定义区间],[],(),,[),(d c 、d c d c 、d c 得长度均为)(c d c d >-、已知实数,().a b a b >则满足
x b
x a x 的11
1≥-+-构成得区间得长度之与为_______. 二.选择题:(本题满分20分,每小题5分)
15.直线(0,0)bx ay ab a b +=<<得倾斜角就是 --------------------------------( )
(Ａ)arctan
a b π- (Ｂ)arctan b a π- (Ｃ)arctan()a b - (Ｄ)arctan()b a
-
16.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π
得图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2得图像上所有得点
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------( )
(A)向右平移6π个单位长度,再把所得各点得横坐标伸长到原来得3倍(纵坐标不变) (B)向左平移
6π
个单位长度,再把所得各点得横坐标伸长到原来得3倍(纵坐标不变)
(C)向右平移
6π
个单位长度,再把所得各点得横坐标缩短到原来得31
倍(纵坐标不变)
(D)向左平移
6
π
个单位长度,再把所得各点得横坐标缩短到原来得3
1
倍(纵坐标不变)
17.
函
数
()f x x x a b
=++就
是
奇
函
数
得
充
要
条
件
就
是
----------------------------------------------( )
(A)0ab = (B)0a b += (C)2
2
0a b += (D)a b = 18.已知集合()(){},M x y y f x =
=,若对于任意()1
1
,x y M ∈,存在()2
2
,x y M
∈,使得
12120x x y y +=成立,则称集合M 就是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①()1,M x y y x ⎧⎫
==
⎨⎬⎩
⎭
; ②(){},sin 1M x y y x ==+}; ③(){}2
,log M x y y x =
=; ④(){}2x
M x,y |y e
==-.其中就是“垂直对点集”得序号就是
( )
(A) ①② (B) ②③(C) ①④ (D) ②④ 三． 解答题:(本大题共5题,满分74分) 19.(本题满分12分)
在ABC ∆中,,BC a AC b ==,a b 、就是方程2
20x -+=得两个根,且0
120A B +=。
求ABC ∆得面积及AB 得长.
20.(本题满分14分,第(1)小题7分,第(2)小题7分) 已知函数()()2
1,65f x x g x x x =-=-+-.
(1)若()()g x f x ≥,求x 得取值范围; (2)求()()g x f x -得最大值.
21.(本题满分14分;第(1)小题5分,第(2)小题9分)
某种海洋生物身体得长度()f t (单位:米)与生长年限t (单位:年) 满足如下得函数关系:()4
10
12t f t -+=
+.(设该生物出生时0t =)
（1） 需经过多少时间,该生物得身长超过8米; （2） 设出生后第0t 年内,该生物长得最快,求(
)00t t N
*
∈得值.
22.(本题满分16分;第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题7分)
流水号
给定椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,称圆心在坐标原点O ,半径为22a b +得圆就是椭圆C 得“伴
随圆”,已知椭圆C 得两个焦点分别就是12(2,0),(2,0)F F -.
(1)若椭圆C 上一动点1M 满足1112||||4M F M F +=,求椭圆C 及其“伴随圆”得方程;
(2)在(1)得条件下,过点(0,)(0)P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点,且截椭圆C 得“伴随圆”所
得弦长为23,求P 点得坐标; (3)已知()cos 3
,(,0,)sin sin m n mn m n θθπθθ
+=-
=-≠∈,就是否存在,a b ,使椭圆C 得“伴随圆”上得点到过两点2
2
(,),(,)m m n n 得直线得最短距离22min d a b b =
+-.若存在,求出,a b 得值;若
不存在,请说明理由.
23.(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题9分)
称满足以下两个条件得有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (2,3,4,)n =阶“期待数列”:
①1230n a a a a +++
+=;②1231n a a a a ++++=.
(1)若等比数列{}n a 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”,求公比q 及{}n a 得通项公式;
(2)若一个等差数列{}n a 既就是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又就是递增数列,求该数列得通项公式;
(3)记n 阶“期待数列”{}i a 得前k 项与为(1,2,3,
,)k S k n =:
(ⅰ)求证:1||2
k S ≤
; (ⅱ)若存在{1,2,3,
,}m n ∈使1
2
m S =
,试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能,求出所有这样得数列;若不能,请说明理由.
(题号 一 二
1
9 2
0 2
1 2
2 2
3 总分 满分 56
20
12 14 14 16 18 150
得分
请在各题目得答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域得答案无效 一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)
1. 2. 3. 4. __ 5. _ 6.
7. __ 8. _ 9.
10. 11. 12.
1３. 1４.
二、选择题(本大题共4题,满分20分。
本大题必须使用2B铅笔填涂)
15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
19.[解]。