f ( x
) 1成立,
1
2
1
2
且当x>0时,
(1)求证:g(x)=f(x)-1
为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,
解不等式f (3 m2
m 2)
3.
【 解 】
(1)
证 明:定 义 在R上 的 函 数f(x)
对 任 意 的x
x
2
R,都有
1
f (1x
2x)
f(1x)
f(2成x)立,1
3.已知f(x)
是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=
1
1 x 2时,f(x)=x-2,
则
f ( x)
f(6.5)等于⋯⋯( )
A.4.5
B.-4.5
C.0.5
D.-0.5
【答案】D
【 解 析 】 由f(x 2)
1
得f(x
4)
1
f ( x )
f ( x
2)
f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)
R,且x1
x2则x2
x1
0
∵f ( x1
x2)
f
( x1)
f ( x2)
1
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
f ( x2)
[ f ( x1) 1]
f ( x2) f ( x1) 1.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
1.
∴f ( x1)
f ( x2).
令x1
x2
0则f(0+0)=f(0)
f (0)
1
令x1
x
x2
x
则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,
∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.
∴g(x)=f(x)-1为奇函数.
(2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数,
∴f(-x)-1=-[f(x)-1].
用心爱心专心5
任取x1x2
在区间(0,6)
内解的个数的最
小值是()
A.2
B.3
C.4
D.7
【答案】D
【解析】∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,
∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,
则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0.
又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5).
1
x1x2
1
∴1 x1x2
0
.
∴f ( x1)
f ( x2)
0
.
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)
上是增函数,
∴-1<t-1<-t<1,
解得0 t
1.
2
14.若定义在R上的函数f(x)
对任意的x
1
x
2
R,
f ( x
x
)
f ( x
)
f (0)0
【解】
(1)
依题意得
f (
1)
2
2
5
b
0
02
1
a
1
即
a
b
b
0
2
2
1
1
5
4
∴f ( x)
x
.
x2
1
(2)
证明:任取
1
x1
x2
1
x
x
f ( x1)
f
( x2)
1
2
x2
1 x2
1
1
2
( x1
x2)(1
x1x2).
(1
x2)(1
x2)
1
2
∵
1
x1
x2
1
∴x1
x2
0 1 x12
0 1 x22
0.
又
是( )
A.f(-1)>f(2)
B.f(-1)<f(2)
C.f(-1)=f(2)
D.无法确定
【答案】A
【解析】
由y=f(x+1)
是偶函数,得到y=f(x)
的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3).
又f(x)在[1
)上为单调增函数,
∴f(3)>f(2),
即f(-1)>f(2).
7.已知函数f ( x )
∴f(x)是R上的增函数.
(3)∵f ( x1
x2)
f ( x1)
f
( x2)
1且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)
f (2)
1
f (2)
3.
2
m 2)
3
得
2
由不等式f (3 m
f (3 mm 2)
由(2)知,f(x)是R上的增函数,
∴3m2
m 2 2.∴3m2
m 4 0.
∴1
m
4.
3
∴不等式
2
3的解集为( 14) .
是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5),
而1 x
2时,f(x)=x-2,
所以f(1.5)=-0.5.
综上,知f(6.5)=-0.5.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=
-
是( )
A.(
1)
B.(
1]
C.(1
)
D.[1
)
【答案】A
【解析】
当x>0时f ( x )
x2
1
.
x
x
1
2
∴f ( x1)
f ( x2).
故f(x)
在[2
)上是单调递增函数.
13.函数f ( x )
ax
b是定义在(-1,1)上的奇函数,且f (1)
2.
1
x2
2
5
(1)确定函数f(x)的解析式;
用心爱心专心4
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
)
(
x
1)
即x<0时f ( x )
(
x
1)
x 1.
9.若函数f(x)=log
a( x
x
2
2 a
2
)是奇函数,则a=
.
【答案】
2
2
【解析】
∵f(x)
是奇函数,∴f(0)=0,即log
a(
2 |a|)=0.
则2 |a|=1,
且a
0 a
1因此a
2.
2
10.已 知f(x)
与g(x)
都 是 定 义 在R上 的 奇 函 数,若F(x)=
D.f(x)-f(-x)>0
【答案】A
【解析】∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)f(
x )
f2( x )
0.
2.(2012山东济南月考)已知y=f(x)
是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f(|x|);
②y=f(-x);③y=xf(x);
④y=f(x)+x.
A.①③
B.②③
C.①④
于是x<0时
f ( x )
x2
2 x
x2
m x
所以m=2.
(2)要使f(x)
在[-1,a-2]
上单调递增,
结合f(x)
的图象知
a
2
1
a
2 1
所以1
a
3故实数a的取值范围是(1,3].
12.已知函数f ( x)
x2
a( x
0) .
x
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(1)=2,
试判断f(x)
f (3 mm 2)
3
用心爱心专心6
1
2
x
1
1
0
x
2
当x<0时,-x>0,∴f(x )
1
2x
.
又∵f(x)
为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f ( x )
1 2x.∴f ( x )
2x
1.
∴f ( x)
2 1
1即2
x
1.
x
∴x<-1.
2
2
∴不等式
f ( x )
1的解集是(
1).
2
5.设g(x)
是定义在R上、以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)
sin
x 1( x
R),若f(a)=2,
则f(-a)
的值为(
)
A.3
B.0
C.-1
D.-2
【答案】B
【解析】 设g ( x)
3
sinx,很明显g(x)是一个奇函数.
x
∴f(x)=g(x)+1.
∵f(a)=g(a)+1=2,
∴g(a)=1.
∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)
上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=7.