1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
X() Re()
即：当 x为(t实) 偶函数， 其频谱函数为实函数
加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：
当 x(为t)实偶函数， 其频谱函数为实偶函数
例：
x(t) e t ( t )
实偶函数
X
()
2 2
2
() 0
实偶函数
x(t) X ()
0
t
0
3）当 x为(t实) 奇函数的情况下
由：
e ，对应j于0t 在频域将原信号的频谱右移 ，即往高频 0
在时域将信号乘以因子
段平移 0
e ，对应j于0t在频域将原信号的频谱左移 ，即往低频 0
这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质
幅度调制技术简称调幅技术，即：将被调制信号
波信号)c，o得s到0调t 制信号：
x(t) cos 0t
F[dx(t)] j X ()
dt
所以有:
X ( ) 1 Sa( )[2 j sin( )] Sa2( )
j
4
42
4
2/
0
4
4
8、积分特性
若: x(t) X 则:
如果 X ，则有0 : 0
t x( )d X () X (0) ()
j
t x( )d X ()
j
证明: p53 自己阅读
X ()
由傅里叶变换的定义，有
X ()
x(t) e jtdt
x(t) costdt j
x(t)sin tdt
显然：频谱函数的实部和虚部分别为 ：
Re() x(t) costdt
Im() x(t)sin tdt
频谱函数的幅度和相位分别为
（2-87）
X R2 I 2
2
若取 E 1,/ 2 ，则 2
F[g(t)] Sa()
由对偶性，得：
F[Sa(t)]
2
g()
0
1 1
otherwise
g(t)
1/2
0
1
1
t
1 Sa(t)
0
t
1 X() Sa()
0
2 g()
1 0 1
4、尺度变换特性
若 x(t)F X
证明略，（p48） 含义：
则 x(at) 1 X
例：求x(t)的傅立叶变换
2
x(t)
1
t
2
2
x(t)
[u(t
2
)
u(t
2
)]
[u(t
)
u(t
)]
已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为：
X1() E Sa( / 2)
利用线性性质可得：
X () [Sa( / 2) 2Sa()]
2、 奇偶性
无论x(t)是实函数还是复函数，都有下面结论：
若:
x(t)F X ()
2 )
2
Sa 2 (
2
)
图2-55说明了该例中 ，各种时域曲线、频 谱曲线的对应关系：
（2）频域卷积定理
若:
x1(t ) X1( )
x2 (t ) X2( )
则:
x1 (t) x2 (t)
1
2
X1 ()
X 2 ()
上式表明: 两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积
利用频域卷积定理也可以很容易导出：
Re() x(t) costdt
奇
Im() x(t)sin tdt 偶
可知：
Re() 0
X() Im()
即：当 x为(t实) 奇函数， 其频谱函数为虚函数
加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：
当 x(为t)实奇函数， 其频谱函数为虚奇函数
例：
x(t)
eat eat
(t 0) (t 0)
实奇函数
X
()
2 j 2
2
虚奇函数
x(t)
0
t
X ()
j
3、对偶性
若 x(t) X 则
X t 2x()
证明：由傅立叶反变换式
x(t) 1 X ()e jt d
2
自变量t变成-t
x(t) 1 X ()e jt d
2
将t和ω互换
x() 1 X (t)e jt dt
2
x() 1 X (t)e jt dt
t0
则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生 (或
t0
)的变化。
t0
例2-11 求图2-46(a)表示的信号的频谱。
(a)
(b)
(c)
解: (a) 可看成是(b)和(c)所示的信号的组合
x(t)
1 2
x1(t
5) 2
x2
(t
5) 2
x1(t), x2 (t) 的频谱函数分别为：
X1()
Sa(
X R2 I 2
arctan
I R
X X
即：当 x为(t实) 函数， 其频谱函数的幅度为偶函数 其频谱函数的相位为奇函数
2）当 x为(t实) 偶函数的情况下
由：
Re() x(t) costdt
偶
Im() x(t)sin tdt 奇
可知：
Im() 0
时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱 的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程
例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱
x1(t )
2/
x2 (t )
2/
/ 4 / 4
/ 4 / 4
矩形脉冲的表达式为
x1 (t )
x2 (t )
0
2
/
t /4 t /4
dt
d n x(t) j n X
dt n
例：求三角脉冲的频谱
x(t)
1
2
0
方法一：代入定义计算
方法二：利用微分性质计算
2
t
x(t)
1 微分
2
0
2
t
2
2
0
2
dx(t) dt
2t
F[
dx(t ) ] dt
Sa(
4
)
e
j
4
j
e 4
Sa( )[2 j sin其频谱函数为：
乘以正弦信号x(t) (常称载
F[x(t) cos0t]
1[X 2
(
0 )
X
(
0 )]
原频谱 X (一分) 为二，各向左、右移动
的形式保持不变。
，在移动过程中0 幅度谱
举例说明其体现在频谱图上的效果
G() Sa( )
2
X () Sa(( 0 ) ) Sa(( 0) )
2
2
2
2
为什么要对信号进行调制？？
7、微分特性
若:
x(t) X
则:
d n x(t) j n X
dt n
证明：由傅立叶反变换定义
x(t) 1 X ()e jt d
2
两边对t求导，有：
dx(t) 1 X ( ) j e jtd
dt 2
所以有： 以此类推，有：
F[dx(t)] j X ()
压缩
x(2t)
1
/4 0 /4 t
2X (2)
2
0
1 2
X ( )
2
扩展
2
0
4
4
图2-50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换(
)前后的时a域波形3 及其频谱。
2-50
5、时移特性
若:
x(t)F X
则: x(t t0 ) Fe jt0 X
式（2-92）的含义为：
(2-92)
信号在时域中沿时间轴右移（或左移）
2
6、频移特性