在算法语言中，可用一个2维数组记忆一个矩阵 3、行矩阵和列矩阵 A= a11 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如： a12 a13 · · · a1n
[
]
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如： 在算法语言中，可用一个1维数组记忆
a1 a 2 T A an
4、纯量
般情况。
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。 1 (a) EAI 2
e
y
1
v1
x
l
1 2
单元编号 杆端编号 局部座标 杆端位移编号
(b)
2
u2
u1
v2
2
(c) X 1
1 M1
Y1
M2 X2 Y2
杆端力编号
（1）单元杆端位移向量
(e) (e)
M2 X2 Y2
(1) u1 v ( 2) 1 1 (e) ( 3) ( 4) u2 ( 5) v2 2 ( 6)
1
（2）单元杆端力向量
1 M1
1
v1
u1
2
2
u2
2
X1
v2
(e) (e)
Y1
F(1) X1 F ( 2) Y1 M1 (e) F( 3) F F( 4 ) X2 F(5) Y2 F M 2 ( 6)
8、对角矩阵
对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
a11 0 D= 0 0 0 a 22 0 0 0 0 O 0 0 0 0 a mm
9、单位矩阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 O 0 0 0 0 1
第九章
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
a11 a12 a21 a22 A= M am1 am2
2、方阵
L a1n a L 2n O M L amn
一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为 n 阶方阵。
共形
2× 2
2 ×1
非 共形
b11 a11 a12 B A= a a b 21 21 22
2 ×1 2 ×2
（2）不具有交换律，即
AB BA
6、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为
原矩阵的转置矩阵，如：
a11 a12 A= a21 a22 a31 a32
任务
单元
意义 用矩阵形式表示杆
件的转角位移方程
建立杆端力与杆端位移
间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
分析
整体 分析
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
用矩阵形式表示位 移法基本方程
二、结构的离散化 1、定义：把结构离散为单元与结点的组合。。 2、单元的划分原则：单元是等截面直杆
3、单元的划分办法：
1）先确定单元的结点，划分单元的结点一般是 杆件的汇交点、支承点和截面突变点 2）结点确定后，结点之间的单元也就随之确定 了
3）对单元和节点进行编号
不考虑杆件 内部载荷
1
1
2 4
1 2 3 1
3 4
2
2
3
5
4 5 6
3
6
4
5
三、杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
§9-2
单元刚度矩阵(局部座标系)
进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆 端力时的一组方程，可以用“ F ”表示，由位移求力称为正问题。
（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩
阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 交矩阵，如 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而 所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正
cos a A = - sin a
sin a cos a
-1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 此处 A-1 则 AB = C 称为矩阵 A 的逆矩阵。
B=A 1 C
A A 1 = A 1 A =I
在算法语言中，可用消元法 等实现方程求解
-
-
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义： 矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。
其转置矩阵为
a11 a21 a31 A a a a 12 22 32
T
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
7、零矩阵
AT =DT CT BT
元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0， 但不一定 A=0 或 B=0。
仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。 两个规则：
5、矩阵乘法
（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
Am ´ p Bl ´n = Cm ´n
当p = l 时才能相乘
在算法语言中， 可用一组循环实 现计算
a11 a12 b11 A B= a a b 21 22 21
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A
= AT
§9-1 概
述
矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵 代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。
பைடு நூலகம்
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法； 矩阵位移法的基本步骤是 （1）结构的离散化(2)单元分析；（3）整体分析，