一． 单项选择题（每小题2分，共10分）1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 51021-⨯，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21)，则1-A 的主特征值是（ ）A11λ Bn λ1C1λ或n λ D11λ或nλ13． 设有迭代公式→→+→+=fxB x k k )()1(。
若||B|| > 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛B 必发散C 可能收敛也可能发散4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A 解函数B 近似解函数C 解函数值D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法C 雅可比迭代法D 高斯—塞德尔迭代法二． 填空题（每小题4分，共20分）1． 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+02132432132132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为⎪⎩⎪⎨⎧2． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111112101A ，则=∞A3． 设1)0(,2'2=+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y4． 设1)(+=ax x f ,2)(x x g =。
若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a =5． 设T x )1,2,2(--=→，若有平面旋转阵P ，使P →x 的第3个分量为0，则P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 三． 计算题（每小题10分，共50分）1． 求27的近似值。
若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2． 设42)(x x x f -=,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3． 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。
4． 试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式⎰++-=-)()0()()(11ααCf Bf Af dx x f为高斯求积公式。
5．设有向量Tx )2,1,2(=→，试构造初等反射阵H ，使T x H)0,0,3(=→。
四． 证明题（每小题10分，共20分）1．设有迭代公式32421-+=+k k k x x x ，试证明该公式在4*=x 邻近是2阶收敛的，并求21)4(4lim--+∞→k k K x x 。
2.设→→y x ,是n 维列向量，Q 为n 阶正交矩阵，且=→y Q →x= 。
模拟二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为51021-⨯，则该数是（ ）。
A 0.00217 B 0.02170 C 0.21700 D 2.170002． 已知λ是A 的特征值，p 是给定参数，则B=A-pE 的特征值是（ ）。
Aλ+p B λ-p C λ+2p D λ-2p3． 设有迭代公式→→+→+=fxB x k k )()1(，则||B|| < 1 是该迭代公式收敛的（ ）。
A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件4． 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。
A 雅可比迭代B 高斯-塞德尔迭代C 平方根法D 追赶法 5． 若尤拉公式的局部截断误差是)(2hO ，则该公式是（ ）方法。
A 1阶B 2阶C 3阶D 无法确定二、 填空题（每小题4分，共20分）a)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=301221112A ，则=1A 。
b)设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=-112123213132x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为⎪⎩⎪⎨⎧。
c)设2'+=xy y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 。
d) 设T x )3,2,1(-=→，若有平面旋转阵P ，使P →x 的第3个分量为0，则P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡。
e) 设2)(-=ax x f ,22)(x x g =.若要使)(x f 与)(x g 在[-1，0]上正交，则a = 。
三．计算题（每小题10分，共50分）1． 设xx x f 2)(3-=,若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
2．求32的近似值。
若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？3．设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++=+-12102321321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。
4．试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式⎰++-=-)()0()()(11ααCf Bf Af dx x f有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。
5．设有向量Tx )32,31,32(-=→，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,1(=→四．证明题（共20分）1．设有迭代公式kk k k x x x x 2)2(21--=+ ，试证明该公式。
在2*=X 附近是平方收敛的，并求21)2(2lim --+∞→kk k x x 。
2． 设)(1x L 是)(x f 的一次拉格朗日插值，试证：2011)(81)()(x x x L x f -≤-10max x x x ≤≤)(''x f模拟三一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。
A. 71021-⨯B. 61021-⨯ C. 51021-⨯ D. 41021-⨯2、 若已知迭代过程)(1k k x x ϕ=+是3阶收敛， C 是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是（ ）。
A ．3**1=--+∞→xx xx k k k limB ．3)3**1(=--+∞→x x xx k k k limC ．c xx x x kk k lim=--+∞→**1 D ．c x x x x kk k lim=--+∞→3**1)(3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。
A. 4B. 5C. 8D. 94、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。
A. LU 分解法B.追赶法C.高斯消去法D.平方根法 5、 设A 的特征值满足||||||11n r λλλ≥⋅⋅⋅≥>+，则相应幂法的速比=A r （ ）。
A.12λλ B.11λλ+r C.nλλ2 D.nλλ2二、 填空题（每小题4分，共20分）1、过节点10-=x ，01=x ，12=x 做近似2)(3-=x x f 的二次拉格朗日插值，其表达式是 。
2、若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则=a ,=b ,=c 。
3、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1201A ，则=∞)(A Cond 。
4、设C=PA,其中P 是三阶平面旋转阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=213130112A ，若使31C =0，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 。
5、设122'-=xy y ，则相应的隐尤拉公式为 。
三、 计算题（每小题10分，共50分）。
1、 利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-1221212121x x x x x x 的近似解。
2、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211111112A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=→1221b 。
若线性方程组>->-=bx A 仅有右端有扰动41021-∞>-⨯=bδ 。
试估计由此引起的解的相对误差∞>-∞>-xxδ。
3、 确定求积公式⎰-++-=11210)1()0()1()(f A f A f Adx x f ，并指明其代数精度。
4、 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=-+122012321321321x x x x x x x x x ，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。
5、 设有方程0322=--x x 。
试确定迭代函数)(x ϕ，使迭代公式)(1k k x x ϕ=+在*x =3附近收敛，并指出其收敛阶。
四、 证明题（每小题10分，共20分）1、 设U 是n 阶正交矩阵，A 是n 阶方阵。
试证明222||||||||||||A UA AU == 。
（提示：)(||||2A A A T ρ= ）2、设有差分公式)3(2'1'1-+-+=n n n n y y h y y 。
试证明该公式是二阶公式。
模拟四一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（ ）。
A. –7.0004 B.-7.000 C. –7 D.-7.00032、 若行列式||A E -=0，其中E 是n 阶单位阵，A 是n 阶方阵，则A 的范数满足（ ）。
A.1||||>A B. 1||||≥AC. 1||||<AD. 1||||≤A 3、 条件数)(A Cond =（ ）。
A.||||1-A AB.||||1-⋅A A4、 设A 是n 阶方阵，则A 可作唯一LU 分解的充分必要条件是（ ）。
A.0||≠A B .A 为正交阵C.A 为对称正定阵D.A 为对角占优阵5、 判定某数值求积公式具有m 次代数精度，只需该公式满足条件（ ）。
A . 公式对mx 准确成立，而对1+m x 不准确成立B. 公式对任意次数不超过m 次的多项式准确成立C. 公式对任意次数为m+1次的多项式不准确成立D. 公式对任意次数不超过m 的多项式准确成立，而对1+m x 不准确成立二、填空题（每小题4分，共20分） 1、 设*x 是方程0)(=x f 的单根，)(x ϕ是对应的牛顿迭代函数。
若*)(x x f 在邻近二阶连续，则=)(*'x ϕ 。
2、 设13)(2++=x x x f ，则二阶均差=-]1,0,1[f 。
3、 设R 是含*x 的邻域。
要使迭代公式)(211k k k x f x x -=+在R 内局部收敛，)('x f 应满足条件 。
4、 设Tx )1,1,2(-=。
若存在平面旋转阵P ，使P >--=T x )0,36,2(，则P=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡。
5、 设有数值求积公式⎰--+≈11)()()(a f a f dx x f 。
若该公式为高斯公式，则=a 。
三、计算题（每小题10分，共50分）。
1、 设}31,,1{2-=x x span ϕ，x e x f =)(。