. 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 1t }
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一、三角函数的傅里叶级数:

f(t)a0 (anco n 1 stbnsin n1t) n 1
直流 分量
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n =1
基波分量
1

2 T
n>1
谐波分量
n1
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直流系数
1
a0
T
t0T t0
V2
c12V2
12
c1V 22V 1co sV 1 V 2 V c 2 o sV V 1.V 22
c12

V1.V2 V22
c12 表示 V 1 和 V 2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0,c121
随夹角增大，c12减小；
当 90o,c120， V1 和 V2相互垂直
lim 2 0
n

f(t) crgr(t) r1
t2 t1
n
f2(t)dt cr2Kr
r1
t2 t1
gr2(t)dtKr
帕斯瓦尔(Parseval)方程
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另一种定义：在正交集 gi(t) 之外
再没有一有限能量的x(t)满足以下条件
tt12x(t)gi(t)dt0 三角函数集 cons1t n
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§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
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一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
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V1 Ve

V2
c12V2
V1 Ve
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
则此函数集称为正交函数集
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在（t1,t2）区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数201学9/6/上6 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
mn mn
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周期信号的另一种 三角函数正交集表示

f(t)C0 Cncon s1t(n) n1

f(t)d0 dnsin(n1tn)
n1
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比较几种系数的关系
a0 C0 d0
Cndn an 2bn 2
f(t)c1g1(t)c2g2(t) cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci

t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t
t1
Ki
t2
t1
f(t)gi(t)dt
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在最佳逼近时的误差能量
2t21 t1t1 t2
t2 t1
f1
(t
)
f
* 2
(t
)dt
t2 t1
f2
(t
)
f
* 2
(t
)dt
两复变函数正交的条件是
tt1 2f1(t)f2 *(t)d ttt1 2f1 *(t)f2(t)d t0
2正交集表示信号
2t2 1t1tt12f2(t)d trn 1cr2Kr
(0t) (t2)
试用sint 在区间（0，2 π）来近似 f(t)。
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f(t)
c12
1 0
1
2
t
18
2
解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
f(t)
4
所以：
c12
第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
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频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
c 12
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，则误差能量 2 最小
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1
c12 t2t1
tt12 [f1(t)c12 f2(t)2 ]d t0
t2 1t1 tt1 2 c 12 f1 2(t)d t2tt2f1(t)f2(t)dt
2c12
t2 t1
s in n1tn
e 复指数函数集
jn1t
n
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其它正交函数系
沃尔什函数集 勒让德多项式 切比雪夫多项式
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§4.2 周期信号的频谱分析
周期信号可展开成正交函数线性组合的 无穷级数：
. 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t}
“非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
zesT e(j )T
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n
f2(t)d t
cr2Kr
r1

归一化正交函数集：
t2 t1
gi2
(t
)dt

1
ci

t2 t1
f(t)gi
(t)d
t
2t2 1t1 tt12f2(t)d t rn 1cr2
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复变函数的正交特性
f1(t)c12f2(t) c12
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就。
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书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用
三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶
级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断
言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调
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VVx Vy VVxVyVz
Vy
V
Vz
V
Vx
二维正交集
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Vy
Vx
三维正交集
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二、 正交函数
f 1 ( t) c 1f 2 ( t) ( t1 t t2 )
2(t21 t1)t1 t2[f1(t)c12 f2(t)2]dt
令 2 0
f(t)dt
余弦分量系数
anT 2tt00Tf(t)cons(1t)td
正弦分量系数
bnT 2 tt00Tf(t)sin n(1t)td
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狄利赫利条件：
在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即
t0T f(t)dt t0
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傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
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傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )