芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。

他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。

关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。

其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。

那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。

”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。

然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。

据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。

但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。

”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。

他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。

芝诺有一本著作《论自然》。

在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。

”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。

芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。

现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。

直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。

英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。

死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。

他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。

遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。

”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。

他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。

目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。

亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。

芝诺悖论（Zeno's paradoxes)是芝诺提出的一系列关于运动的不可能性的哲学悖论。

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。

芝诺为了支持他老师巴门尼德关于“存在不动”、是一的学说（万物为一且永不变化的学说），提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。

他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。

不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。

这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。

），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。

这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。

这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。

一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。

运动是不可能的。

物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

最早应是《庄子天下篇》中，庄子提出的:“一尺之捶，日取其半，万世不竭。

”2、阿基里斯（Achilles）。

快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！3、飞矢不动。

一支飞行的箭是静止的。

任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。

由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。

4、运动场。

两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。

【《物理学》２３９ｂ５－２４０ａ１８】首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C 将分别各向右和左移动一个距离单位。

□□□□ 观众席A■■■■ 队列B……->向右移动▲▲▲▲ 队列C……<-向左移动B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

□□□□■■■■▲▲▲▲而此时，对B而言C移动了两个距离单位。

也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。

因此队列是移动不了的。

四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。

以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。

19、20世纪之交的绝对唯心主义者布拉德雷（Bradley, F. H.）全盘接受芝诺的论证和结论，他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受，在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。

”【F. H. Bradley, Appearance and Reality, Oxford: Clarendon Press, 1930, p.36.】除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。

不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。

常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

已知最早的批评来自亚里士多德。

关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿基里斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。

诚如亚里士多德所说，阿基里斯追龟说其实可以归结为二分说．按照二分说，阿基里斯在到达乌龟的起跑点之前，必须先走过这段距离的1/2，为此，又必须先走过1/4，1/8，等等，即必须在有限的时间内通过无限多个点，因此按芝诺的理由，阿基里斯根本就动弹不了。

亚里士多德克服这个困难的办法是说，“时间本身分起来也是无限的”，而在解决飞箭静止说时又说，“时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量也都不是由不可分的部分组合成的那样。

”亚里士多德曾明确地论证过“在时间里确有一种不可分的东西，我们把它称之为‘现在’。

”于是问题的症结在于亚里士多德所说的不可分的“现在”究竟是什么？如果用区间表示时间，所谓“现在”是长度很短的线段呢，还是长度为零的严格的数学上的点？如果是前者，那么时间就是由“现在”组成的，飞箭就是不动的了。

亚里士多德的意思显然是指后者。

但按照亚里士多德对二分说的分析，线段(距离)被分割为和无限数的“现在”相对应的无限数的点。

又按照二分法的含义，这里的无限是可数的，那么，由可数的无限个长度为零的点组成的线段，其长度必为零，这又矛盾了。

因此，芝诺悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾，亚里士多德没有能觉察到这一点，当然实际上没有能驳倒芝诺。

P．汤纳利(Tannery)在 1885年指出，芝诺悖论所反对的是那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的总和的概念。

换句话说，芝诺并不否认运动，但是他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。

亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。

【《物理学》２３９ｂ５－２４０ａ１８】黑格尔对芝诺悖论的解决是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，——并且这才是使得运动可能的条件。

”【《哲学史讲演录》中译本第１卷第２８９页。

】这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释，不过，它似乎并没有直接针对芝诺论辨本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。

受黑格尔的影响，我国哲学界一般认为芝诺不懂得连续性和间断性的辩证关系，把这两者机械的对立起来，所以造成运动悖论，这大意是说，芝诺的论证没使用辩证逻辑，因而是无效的。

这种批评同样是笼而统之，不关痛痒。

二、分析与分析的困境19世纪以来，从数学的、逻辑的角度提出的解决方案较多，这里统称为分析的方法。

1、无穷级数的求和。

在芝诺的运动悖论和多悖论中都涉及到无限分割后的求和问题，微积分的发展使得对此进行定量分析成为可能。

对于多悖论而言，可以肯定的说，无穷分割后的各部分趋于零但不等于零，其总和不等于零，但也不会是一个无限量。

对于阿基里斯而言，他虽然要无数次的到达某个起始点，但它所走的空间距离并不是一个无限量，追龟情形下的空间距离是：d+d(v2/v1)+d(v/v1)^2+……+d(v2/v1)^(n-1)+……=n→∞limdv1/(v1-v2)*(1-(v2/v1)^n)=dv1/(v1-v2)（其中d是初始距离，v1、v2分别是快者和慢者的速度）是一个有限数，对于有限的距离，当然可以在有限的时间内穿过并达到终点。