平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2= - 34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2= 214 (x ≥0)［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34或k ＝43 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。

即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：()04214222=+-++-++y x y x y x λ 即：()()04122222=+++-+++λλλy x y x （1）因为圆过原点，所以041=+λ，即41-=λ 故所求圆的方程为：0274722=-++y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有：()545245222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλy x当其半径最小时，圆的面积最小，此时52-=λ为所求. 故满足条件的圆的方程是54585422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x .［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值. 解：（1）证明 ∵｜OB OA +｜＝｜OB OA -｜，∴（OB OA +）2＝（OB OA -）2， 整理得：⋅＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则⋅＝0 即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径.（2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x∵1212px y =，)0(2222>=p px y∴22221214py y x x =又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y∴－21y y 222214py y =∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42p2121222122212141)2(41)(412y y py y y y p y y p x x x -++=+=+=＝)2(122p y p+ 所以圆心的轨迹方程为222p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则＝pp p y y p y py x 5|)(|5|2)2(1|5|2|2222+-=-+=-当y ＝p 时，ｄ有最小值5p ，由题设得5p ＝552 ∴p ＝2.圆锥曲线经典例题导讲[例1]设双曲线的渐近线为：x y 23±=，求其离心率. 解：由双曲线的渐近线为x y 23±=是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y 轴上时，32=a b ，故本题应有两解，即： 213122=+==ab ac e 或313.［例2］设点P(x,y)在椭圆4422=+y x 上，求y x +的最大、最小值.剖析：本题中x 、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422=+y x 的约束.当x=1时,y 此时取不到最大值2,故x+y 的最大值不为3.其实本题只需令θθsin 2,cos ==y x ，则)sin(5sin 2cos ψθθθ+=+=+y x ，故其最大值为5，最小值为5-. ［例3］已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程. 解法一： 设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，由双曲线的定义知.2|4|)10(22=-+-x y x 整理得.14816)2(22=--yx 解法二： 依题意，设双曲线的中心为)0,(m ,则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+.21042acm c m c a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===.284m c a ,所以 ,481664222=-=-=a c b故所求双曲线方程为.14816)2(22=--y x ［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程. 解：若21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值. 于是,)23()7(22+=b 从而解得矛盾与21,21237<>-=b b .所以必有21≥b ，此时当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值，所以22)7(34=+b ，解得.4,122==a b于是所求椭圆的方程为.1422=+y x ［例5］从椭圆12222=+by a x ,(a >b>0)上一点M 向x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F 1，A 、B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB ∥OM 设Q 是椭圆上任意一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若⊿F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程解：本题可用待定系数法求解∵b=c, a =2c ，可设椭圆方程为22222=+cy c x∵PQ ⊥AB,∴k PQ =-21==bak AB ，则PQ 的方程为y=2(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x 2-8cx+2c 2=0， 根据弦长公式，得c PQ 526＝, 又点F 1到PQ 的距离d=362 c ∴==∆d PQ S PQ F 2112534c ,由,2532053422==c c ，得 故所求椭圆方程为1255022=+y x ［例6］已知椭圆：1922=+y x，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长解：a=3,b=1,c=22; 则F （-22，0）由题意知：)22(31:+=x y l 与1922=+y x 联立消去y 得： 01521242=++x x设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x41521=⋅x x ，223221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点，所以|AB|=21518324)(32||3112122121=-=-+⋅=-⋅+x x x x x x点评：也可利用“焦半径”公式计算［例7］（06年全国理科）设P 是椭圆)1(1222>=+a y ax 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求｜PQ ｜的最大值.解： 依题意可设P （0,1），Q （y x ,），则｜PQ ｜＝22)1(-+y x ，又因为Q 在椭圆上，所以，)1(222y a x -=，｜PQ ｜2＝12)1(222+-+-y y y a ＝22212)1(a y y a ++--＝22222111)11)(1(a aa y a -+-----. 因为||y ≤1，a ＞1，若a ≥2，则|11|2a -≤1，当211ay -=时，｜PQ ｜取最大值11222--a a a ；若1＜a ＜2，则当1-=y 时，｜PQ ｜取最大值2.［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN =4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，由右焦点为（2，0）知C=2，b 2=4-a 2则双曲线方程为142222=--a y a x ，设直线MN 的方程为：)2(53-=x y ，代入双曲线方程整理得：(20-8a 2)x 2+12a 2x+5a 4-32a 2=0设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2),则222182012a a x x --=+， 22421820a x x -=∴ ()212124531x x x x MN -+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=482032548201258224222=--⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=a a a a a 解得 12=a ，142=-=∴b故所求双曲线方程为：322=-y x 点、直线和圆锥曲线经典例题导讲[例1]求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点.解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22=只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则⎩⎨⎧=+=x y kx y 212， ∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k = 12 ,∴ 所求直线为.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y [例2]已知曲线C ：2202x y -=与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的范围. 解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），形易求得m 的范围为52525<<-=m m 或.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，错.[例3]已知A 、B 是圆122=+y x 与x 轴的两个交点，直于AB 的动弦，直线AC 和DB 相交于点P 定点E 、F, 使 | | PE |－| PF | | F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),设 P ( x, y ), C ( 00,y x ) , 则 D (00,y x - 由A 、C 、P 三点共线得 1100+=+x y x y① 由D 、B 、P 三点共线得1100--=-x y x y② ①×② 得 11202022--=-x y x y ③又 12020=+y x , ∴20201x y -=， 代入③得 122=-y x ，即点P 在双曲线122=-y x 上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－2, 0 )、F (2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例4]已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，｜PQ ｜=210，求椭圆的方程. 解：设所求椭圆的方程为2222by a x +=1.依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+==+② ① 1x y 1by a x 2222 将②代入①，整理得0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a ， ③设方程③的两个根分别为1x 、2x ，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(1x ,1x +1)，Q(2x ,2x +1)由题设OP ⊥OQ ，｜OP ｜=210，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++--=+⋅+22122122211)210()]1()1[()(111x x x x x x x x整理得⎩⎨⎧=--+=+++ ② ①0516)(4012)(212212121x x x x x x x x解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=23412121x x x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=21412121x x x x 根据根与系数的关系，由③式得(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+41)1(2322222222b a b a b a a 或 (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+41)1(2122222222b a b a b a a解方程组(1)、(2)得⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==23222b a故所求椭圆方程为32222y x + =1 ， 或23222y x + =1.[例5]（06年高考湖南）已知椭圆C 1：3422y x +＝1，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点。