1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。

一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。

2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。

如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。

如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。

下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002， 显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ， 由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。

在实际应用上主要讨论在00=x 的展开式。

这时（2）也可以写成()()()()() +++++nn x n f x f x f f !0!20!1002'''，称为麦克劳林级数。

3 函数的幂级数展开与技巧3.1一般的泰勒展开法（直接展开法）我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。

通常有三种展开思路：1、统一用柯西余项来估计余项()n R x ；2、统一用积分余项来估计余项()n R x ；3、柯西余项（或积分余项）结合拉格朗日余项来估计余项()n R x 。

本文采用第二种思路。

例2 求k 次多项式()k k x c x c x c c x f ++++= 2210， ()N k ∈ 的展开式。

解：由于()()!,00,n k n c n k f n k ≤⎧=⎨>⎩总有()0lim =∞→x R n n ，因而()()()()()()''200002!!k k f f f x f f x x x k =++++2012k k c c x c x c x =++++，即多项式函数的幂级数展开就是它本身。

例3 求函数()x e x f =的展开式。

解：因为()()x n e x f =， ()()10=n f () ,2,1=n ，(,)x ∀∈-∞+∞有(1)1()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰0110!!nxn t xxe x dt e n n ≤=-→⎰， ()n →∞； 从而+++++=n x x n x x e !1!21!1112， ()+∞∞-∈,x 。

例4 求函数()x x f sin =的展开式。

解：由于()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x x f n ， ,2,1=n ，(,)x ∀∈-∞+∞有(1)01()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰ 011sin()()!2x n n t x t dt n π+≤+-⎰011!xn x dt n ≤⋅⎰10!n x n +≤→，()n →∞；所以 ()x x f sin =在()+∞∞-, 内能展开为麦克劳林级数：()() +--+++-=-+!121!5!3sin 12153n x x x x x n n ；同样可证（更简单的方法是对上面sin x 的展开式逐项求导）：()() +-+++-=!21!4!21cos 242n xx x x nn 。

例5[]1 求函数()()ln 1f x x =+的展开式。

解：注意到，函数()()ln 1f x x =+ 的各阶导数是()()()()()nn n x n x f +--=-1!111， 从而()()()()1011!n n f n -=--，(1,1)x ∀∈-有(1)01()()()!x n nn R x f t x t dt n +=-⎰ 11(1)!(1)()!n x n n n t x t dt n --=-⋅+-⎰01()11xn x t dt x t -=++⎰；注意到，当[0,]t x ∈或[,0]x 时，1x tt-+不变符号且关于变量t 单调，因此1x t t -+总是在0t =时取最大值nx ，从而1()ln(1)01xnn n R x xdt x x t≤=+→+⎰，()n →∞； 所以f 的麦克劳林级数是()()()234111234ln nn x x x x f x x x n-=+=-+-++-+， (3)用比式判断法容易求得(3)的收敛半径1=R ，且当1=x 时收敛，1-=x 时发散，故级数域(1,1]-。

将(3)式中x 换成1-x 就得到函数 ()ln f x x =在1=x 处的泰勒展开式：()()()()()()23111111123ln n n x x x x x n-----=--+++-+，它的收敛域为(0,2]。

例6 讨论：二项式函数()()1mf x x =+展开式。

解：当m 为正整数时，有二项式定理直接展开得到f 的展开式，这已经在前面例2中讨论过了。

下面讨论m 不等于正整数时的情形，这时：()()()()()111m nn f x m m m n x -=--++，1,2,n =，()()()()011n f m m m n =--+，1,2,n =；于是()x f 的麦克劳林级数是()()()()2111112!!mn m m m m m n x mx x x n ---++=+++++， (4)运用比式判别法可得(4)的收敛半径1=R 。

设*m N ∉（由二项式定理易证*m N ∈的情形），(1,1)x ∀∈-有(1)1()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰101(1)()(1)()!xm n n m m m n t x t dt n --=--+-⎰10(1)()()(1)!1xnm m m m n x t t dt n t----=⋅++⎰10(1)()(1)!xnm m m m n x t dt n ---≤⋅+⎰()1(1)()1!mn x m m m n x n m m+--=⋅-0→，()n →∞。

由比式判别法知级数(1)()!n m m m n x n --∑收敛，故通项(1)()!nm m m n xn --趋于0,因此lim ()0n n R x →∞=。

所以，在()1,1-上有 ()()()()2111112!!mn m m m m m n x mx x x n ---++=+++++， (5)对于收敛区间端点的情形，它与m 的取值有关，其结果如下：当1m ≤时，收敛域为()1,1-；当10m -<<时，收敛域为(]1,1-；当0m >时，收敛域为[]1,1-；在(5)式中，令1m =-就得到()()1,1,11112-+-+++-=+ n nx x x x， (6) 当12m =-时，得到(]1,1,65432143212111132-+⨯⨯-⨯+-=+ x x x x。

(7) 例7 以2x 与2x -分别代入(6) (7)得到()()1,1,11112422-+-+++-=+ n nx x x x， (8) (]1,1,6543214*********422-+⨯⨯+⨯++=- x x x x ， (9) 对于(8) (9)分别逐项可积，可得函数x arctan 与x arcsin 的展开式20arctan 1xdt x t =+⎰()252113521n nx x x x n +=-+++-++，[1,1]-，arcsin xx =⎰357113135232452467x x x x =++⋅⋅+⋅⋅⋅()()[]2121!!,1,12!!21n n x x n n +-+++∈-+。

这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的，特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。

3.2 通过变形、转换、利用已知的展开式例8 将函数()()243ln f x x x =++展开式x 的幂级数并指出收敛半径。

分析：将()x f 变为()ln 1x +的形式。

解：因为()()243ln f x x x =++()()1ln 3x x =++()()ln 3ln 1x x =+++()ln 31ln 13x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()ln 3ln 1ln 13x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()113ln 113n nn x n +∞=⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭∑()1111nn n x n ∞+=+-+∑ ()1110113313n 1l n nn n n x n +∞++=+=+-⋅+∑，1R =。

例9 求21x y -=的麦克劳林展开式（至含6x 的项）。

解：由于()()21112!mm m x mx x -+=+++()()11!n m m m nx n --+++，故y =()()()23222111111111(1)(1)(2)22!223!222x x x =+-+--+---+24611112816x x x =---+，因021>=m 故收敛区间为[]1,1-。