哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名刘晓辉学号09031212指导教师徐亚兰职称副教授2013年6月1日哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目 录摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15)3.1 形如()n n d yf x dx=的高阶方程 (15)3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '=L 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)摘 要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。
进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线 性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方 程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。
其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如()n n d yf x dx =，()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L ，()(,,,)0n F y y y '=L ，恰当导数方程和Euler 方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。
最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。
关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce higher-order homogeneous linear differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses the comparison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more complex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described.Key words:Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。
它的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。
常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。
常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。
目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以运用常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法进行求解。
而对于可以降阶的高阶微分方程，我们通常采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶微分方程求解的问题转化成低阶微分方程的求解问题。
本篇论文我总结了形如()n n d yf x dx=，()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L ，()(,,,)0n F y y y '=L ，恰当导数方程和Euler 方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题，进而介绍此类问题在科学技术中的应用。