例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2, 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q). 解 由需求价格弹性的定义, 有
p dQ 1 = 2 Q dp Q
这是变量可分离的方程,移项化简，得
1 Q dQ = dp p 1 2 Q = ln p + ln c1 2
10
于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为
y=e
∫ p ( x ) dx
∫ p ( x )dx dx + c ] [ ∫ q( x )e
注1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个 特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质 解的一个性质. 解的一个性质 注2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为 待定函数c(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x), 从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易 法”. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.
y = (ex + c) (x+1)2
例8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解. 解 将方程改写为
dx x cot y = sin 2 y dy
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
x=e
∫ p ( y )dy
∫ p( y )dy dy + c ] [ ∫ q( y )e
∫
f ( u) u
将变量还原, 便可得原方程的通解. 例5 求方程 解 令 u= y, x 代入原方程, 得
dy y y 的通解. =2 + dx x x dy du 即 y = ux 则得 = x +u dx dx x du = 2 u dx
6
分离变量, 得
dx = x 2 u
du
du
dx 两端积分, 得 ∫ =∫ + ln c x 2 u
7
du + u = u ln u dx du dx 分离变量, 得 u(ln u 1) = x
代入原方程, 得 x
两端积分, 得
即
将u =
ln(ln u 1) = ln x + ln c
ln u = cx + 1
y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y = xe cx +1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程. 若 q(x) = 0 , 则称方程 为一阶齐次线性微分方程 若 q(x) ≠ 0 , 则称方程 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
1
一. 变量可分离的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分 离的方程. 形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离的 方程. 设 g(y) ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程
dy = f ( x)dx g( y)
若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得
dx x 令 y = f(x) ，得x 2 , 代入上式得
dz 2 + z = 2 y dy y
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
18
z=e
2 ∫ dy y
[ ∫ ( 2 y )e
2 ∫ dy y
dy + c ]
= e 2 ln y [ ∫ ( 2 y )e 2 ln y dy + c ]
于是
u = ln x + c
将u =
y 代入上式, 并化简得方程的通解为 x
y = x (ln x + c )2
例6 求方程 x 解
dy = y(ln y ln x ) 的通解. dx
将方程恒等变形 为
dy y y = ln dx x x
y 令 u= , 即 x
dy du y = ux 则得 = x +u dx dx
= y 2 [ ∫ ( 2 y ) y 2 dy + c ]
= y 2 [ 1 4 1 y + c ] = y 2 + cy 2 2 2
将z = x 2 代入上式, 得原方程的通解为
1 1 = y 2 + cy 2 2 x2
再由初始条件 f (2) = 1, 代入上式 , 得 c =
3 4
故所求的函数为
= e∫
cot ydy
cot ydy [ ∫ sin 2 ye ∫ dy + c ]
13
ln sin y [ sin 2 y e ln sin y dy c ] =e + ∫
1 dy + c ] = sin y[ ∫ sin y sin y
2
= sin y[ cos y + c ]
将初始条件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1 故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy) -
令
z = y1 n , 将方程化为线性方程
15
dz + (1 n) p( x ) z = q( x ) dx
求出此方程的通解，并将变量代回 z = y1n ，便可得 到贝努里方程的通解. 例9 求方程 y’= xy + x3y2 的通解. ’ dy xy = x 3 y 2 解 将方程改写为 dx 1 2 dz 令 z = y , 即 y ' = z dx dz 代入方程, 得 + xz = x 3 dx
4
解
分离变量, 得
sin y sin x dy = dx cos y cos x
两边积分，得 lncos y = lncos x + ln c 于是原方程的通解为
cos y = c cos x
3
又将初始条件 y x = 0 =
π
4
2 代入通解中, 得 c = 2
2 cos x 2
故满足初始条件的特解为 cos y =
ce
x 2
x2 + 2
17
*例10 设可微函数 f(x) 满足 ∫2 求 f(x).
x
f ( x) dx = f ( x ) 1 3 2 x f ( x) + x
解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导, 得
f ( x) x f ( x) + x
3 2
= f '( x )
这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1
用常数变易法求非齐次线性方程的通解
令 y = c( x )( x + 1)2
两端求导, 得
y ' = c '( x )( x + 1)2 + c( x )2( x + 1)
12
c '( x ) = e x 将 y与y’代入方程, 并整理, 得
x 两端积分, 得 c( x ) = e + c
故原方程的通解为
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
16
xdx xdx 3 z=e ∫ [∫ x e ∫ dx ]
=
=
=
x2 e 2[
∫
x2 3 x e 2 dx
+ c]
x2 x2 e 2 [ e 2
x2 ce 2
( x 2 2) + c ]
x2 + 2
将 z = y 1 代入上式, 得原方程的通解为 1 y= 2
的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数.
因 y ' = c '( x )e
∫ p( x )dx
c( x )e
∫ p ( x )dx
p( x )
将 y与y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x), 并整理, 得
c '( x ) = q( x )e ∫
p ( x ) dx
∫ p ( x ) dx dx + c 两端积分, 得 c( x ) = ∫ q( x )e
11
例7 求方程 ( x + 1)
dy = 2 y + e x ( x + 1)3 的通解. dx dy 2 y = e x ( x + 1)2 + 解 将方程改写为 dx x + 1 dy 2 + 先求齐方程 dx x + 1 y = 0 的通解 dy 2 dx = 分离变量, 得 y x+1
y = c( x + 1)2 两端积分并整理, 得齐方程的通解
y = ce
∫ p ( x ) dx
y’+ p(x)y = 0
y’+ p(x)y = q(x)
其中c为任意常数.
9
2.一阶非齐次线性微分方程的通解 一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次方程 的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如
p ( x ) dx y = c( x )e ∫
4
两边积分,得
即
p = c1
1 Q2 e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为
p=
1 Q2 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程
y y ' = f ( ) 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 形如 x
齐次方程.
y u= , 即 引入新的变换 x y = ux
1 x2
=
1 2 3 2 y + y 2 4