一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。

本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。

关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程形如()()dyf xg y dx= （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。

分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程[1].(1) 显式变量可分离方程的解法在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为()()dyf x dxg y =积分得()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰ （1.3） 此为（1.1）的解．若()0g y =，0y ∃使0()0g y =，则0y y =也是（1.1）的解． 注：当0y y =不包含于（1.3）时要特别补上解0y y =．例1：求解方程dy dx =．解:当1y ≠±时，方程的通积分为C =+，即arcsin arcsin y x C =+ 即 sin(arcsin )y x C =+.另外，方程还有解1y =±，不包含在通解中.(2) 微分形式变量可分离方程的解法方程1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2）是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和y 在方程中的地位是“平等”的，即x 和y 都可以被认为是自变量或函数[1].在求常数解时，若10()0N y =，则0y y =为方程（1.2）的解.同样，若20()0M x =，则0x x =也是方程（1.2）的解.当()()120N y M x ≠时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得()()()()2112N y M x dy dx N y M x =上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分()()()()2112N y M x dy dx C N y M x =+⎰⎰例2:求解方程()()22110x y dx y x dy -+-=解:首先,易见1,1y x =±=±为方程的解.其次,当()22(1)10x y --≠时,分离变量得22110ydy xdx x y --+=积分，得方程的通积分22ln 1ln 1ln x y C -+-= （C ≠0）或 ()()2211x y C --= （C ≠0）以上容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.2.2可化为变量可分离方程(1) 第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程如果一阶显式方程(,)dyf x y dx = （1.4） 的右端函数(,)f x y 可以改写为y x 的函数()yg x，那么称方程（1.4）为一阶齐次微分方程,也可以写为()dy yg dx x= (1.5) 作变量变换yu x= (1.6)于是y ux =，从而dy duu x dx dx=+ (1.7) 把（1.6），（1.7）代入（1.5）得()duxu g u dx+= 即 ()du g u u dx x-= (1.8) 方程（1.8）是一个变量可分离方程,当()0g u u -≠时,分离变量并积分,得到它的通积分1ln ()du dxC g u u x =+-⎰⎰ (1.9)或()1dug u uC x e-⎰=即()u x Ce ϕ=其中11(),()du u C g u u C ϕ==-⎰.以yu x=代入,得到原方程(1.5)的通积分 ()y xx Ceϕ=若存在常数0u ,使00()0g u u -=，则0u u =是(1.8)的解, 由yu x=,得0y u x =是原方程（1.5）的解[1]．例3：解方程22dyx xy y dx=- 解：将方程化为 2dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令y u x =，代入上式得2du u xu u dx +=-,即 2duxu dx=-易于看出,0u =为这个方程的一个解,从而0y =为原方程的一个解. 当0u ≠时,分离变量得2.du dxu x-=两端积分后得1ln x C u=+ 或 1ln u x C=+将u 换成y x ,并解出y ,便得到原方程的通解ln x y x C=+. (2)第二类可化为变量可分离的方程形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.1） 的方程是第二类可化为变量可分离的方程[1]. 其中111222,,,,,a b c a b c 均为常数.分如下情况：12()0i c c ==1122a x b y dy dx a x b y+=+. 即 1122ya b dy x ydx a b x+=+ 用变量代换yu x=即可化为可分离变量的微分方程．111222()a b c ii k a b c ==≠ 令22u a x b y =+ 则122222ku c du dya b a b dx dx u c +=+=++ 是可分离变量的微分方程． 1122()a b iii a b ≠ 若12,c c 不全为零，则1112220a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ 代表oxy 平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为(),αβ令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩，则上述方程变为11220a X bY a Xb Y +=⎧⎨+=⎩ 则（1.7）变为1122a X bY dX x g dY a X b Y y ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭为可分离变量的微分方程． 注：若120c c ==，则为()i 的情形． 例4：求方程25--+-=y x y x dx dy .解：令2--=y x u ,则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有 dx udu 7-=，所以)(722为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--。

例5：求方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ,令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ,有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到uvu v v u v u du dv 21222--=--=， 令u v t =， 有udt tdu dv +=，代入得到ttdu dt u t 212--=+， 化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=， 有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=， 所以有)(1121C e C t t C u ±=+-=，故代入得到 )0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x3 常数变易法一阶线性微分方程的一般形式()()dyp x y f x dx+= （2.2） 其中(),()p x f x 在考虑的区间上是x 的连续函数.当f ()0=x 时,即()0dyP x y dx+= （2.3）称为一阶线性齐次微分方程，当()0f x ≠，称为一阶线性非齐次微分方程.3.1齐次方程通解的解法：一般变量分离对()0dyp x y dx+=分离变量，得 ()1dy p x dx y=- 两边同时积分，得()1ln y p x dx c =-+⎰即 ()2p x dxy c e -⎰=则 ()(0)p x dx y ce c -⎰=≠3.2 非齐次方程通解的解法：常数变易法不难看出,（2.3）是（2.2）的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此，令()()p x dxy c x e -⎰= （2.4）为方程（2.2）的解，其中()c x 待定，将（2.4）代入（2.2），得 ()()()'()()[()]()()()p x dx p x dx p x dxc x e c x e p x p x c x e f x ---⎰⎰⎰+-+⋅=即 ()'()()p x dxc x f x e ⎰=从而 ()()()p x dxc x f x e dx c ⎰=+⎰故，方程（2.2）的通解为()()()()p x dx p x dx p x dxy ce e f x e dx --⎰⎰⎰=+⋅⎰注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和[4]。