解成为 n 个一次因式的乘积，而这在实数集内是无法实现的．
（四）注意共轭的性质
x 2 = x 仅 在实 数中成 立， 在复数 中不 成立． 复数 z =a ib 的 共轭 复数 定义为 ：
2 2 b z 2 z． 特 别 地 ， 实 数 x 的 共 轭 是 其 本 身 ， 所 以 z =a ib ， 于 是 z z a 2 x x x = x ．于是虚根成对存在只适用于实系数方程，复系数方程不再成立．另外，容易 2 2
[1]
为此，本文试图深入探究实数集与复数集的相异性质，并分析其
失效原因之根本，以期加深读者对两数集性质的理解．
（一） “ ” 的意义
实数集中的 x r x r 在复数集中不一定成立． 在复数集中称为模，在实数集中称为绝对值，它在两个数集上的几何意义都是距 “ ”
离．如 z 表示复数 z 对应复平面上的点到原点的距离．但实数集中的 z r z r 在复 数集中不一定成立．虽其几何意义都是“到原点的距离为 r ” ，但两数集对应的“形”不一 样了，满足条件的点也不一样了．实数集与一条数轴上的点一一对 应， “到原点的距离为 r ”的点只有两个 z r ．复数集则维度升 高，与一个复平面上的点一一对应． “到原点的距离为 r ”的点就 在以原点为圆心 r 为半径的圆上，有无数个．如右图，在复平面上 由 z r 有 z r (cos i sin ) ， [0, 2 ) ． 但 上 式 包 括 了
z r ．因为若在实数集上，则 0 或 ， z r ．
（二） i 2 1 所引起的
2 在数扩充到复数集的过程中，定义了 i 1 的运算，这导致
实数的许多性质在复数中不再成立，具体体现在： （1） z 恒大于等于 0 不成立. 比 如 在 实 数 集 中 ， 由 x2 y 2 0 易 得 x y 0 ． 而 在 复 数 集 中 ， x2 y 2 0 有
1 3 1 3i 1 3i 3 3 ) 1 ．故正确解 ，此时仍有 q ( 2 2 2 3 答应为 q3 3 或 1， a4 =a1q 3 或 1．本题正确答案应为 3 或 1．
所以 q2 q 1 0 ， q 原解答的问题是：无意地视数列为实数列．若要保留原解答，此高考题可改为： 设等比实数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 =1， S6 =4S3 ，则 a4 =____.
2
2 “i 1” 数集中，若判别式 b 4ac 0 ，则方程无解．而在复数集中，由 知方程仍
2
有根 x
b i 4 ac b2 ，所以 的判断功能失效．如上述高考题中 q2 q 1 0 ，虽 2a
1 3i ．另外， 的判断功能失效，但一元二次方程 2
2
验证，在复数集中有 z = z 2 成立． 实数集是复数集的特例， 实数集上的性质就有了特殊性与局限性， 部分性质不能直接推 广到复数集，我们在平时学习中应加以比较与辨析．
2
参考文献
[1]F.克莱因.高观点下的初等数学(中译本)[M].上海:复旦大学出版社, 2008. [2]陈宗煊、孙道椿.复变函数[M].北京:科学出版社, 2010. [3]曲一线.5 年高考 3 年模拟：A 版.[M].北京：首都师范大学出版社,2010.1.
m n mn m n mn
2 则 i (i ) (1) 1 ，这与 i 1 矛盾．
2
2 4 4
2 4
（4）复数不能比较大小． 我们知道，实数可以比较大小，而复数不可以．其实，严格地说，复数只是没有合理、
有效的比较大小的方法．规定复数的大小其实很容易，如可以定义： a ib c id 当且仅
高观点下实数集与复数集的相异性质
——从一道高考题的刍议谈起 凌明灿，张上伟，吴康
（华南师范大学数学科学学院，广东 广州 510631）
一、一道高考题的刍议
先看 2009 年高考文科数学全国卷Ⅱ第 13 题. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 =1， S6 =4S3 ，则 a4 =____ . 【原解答】答案为 3. 设等比数列 {an } 的公比为 q ，若 q =1 ，则 S6 =6a1 =6 ，
当a c， 或 a cb, d
2 2 i 0， ． 按照这个定义， 但 i 1 0 ， 这与熟知的 a 0 a 0
不同，用起来不方便，因此，大家都不去定义它． [2]
（三） n 次方根的个数
n 实数集中，若 x a （ a 0, n N, n 2 ） ，则 n 为奇数时， x
2
x2 y 2 (iy)2 ， x iy ．此时 ( x,y ) (i,1), (2i, 2),
有无穷多组解．
（2）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 判别式的判断功能失效．
b 2 b2 4ac 对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) ，由配方法有 a( x ．在实 ) 2a 4a
n
a ； n 为偶数时，
x n a ．实数中开方运算最多只有两个解．而在复数集中，任一个数的 n 次方根均有 n 个
不 同 的 解 ． 因 为 复 数 中
xn a r (cos i sin )(r 0)
，
x n r (cos
2k
n
i sin
2k
mn
3 0 ，但方程仍有两根 q
Байду номын сангаас
的求根公式和韦达定理在复数集中仍适用． （3）分数指数幂的运算法则 (a ) a
m n m n mn
不成立．
在实数中有 (a ) a (a 0, m, n Q) ． 而在复数集中只有整数指数幂的运算法则成 立，即 (a ) a (a 0, m, n Z) ．因为若 (a ) a (a 0, m, n Q) 在复数中成立，
二、实数集与复数集的相异性质
在中学， 教材仅对复数及其基本运算作简单的介绍， 很多中学教师和学生的复数意识并 不强．如上题，出题者应意在考查实数列，却没料到公比有复数解，这是一个疏忽．相信解 题者也往往自然地当成实数列来解而忽略了公比的复数解． 在数的发展过程中， 实数集扩充 到了复数集，复数具有的性质实数一定具有，但实数具有的性质未必能推广到复数．因此， 为了加深对复数的认识， 系统地去比较探究实数集与复数集的相异性质， 无论对教师还是对 学生，都显得非常必要． 此前， 也有文章对从实数集扩充到复数集后须注意的问题进行探讨， 但大多仅限于易错 问题的列举，而未挖掘其背后的原因．如数学大师克莱因在《高观点下的初等数学》中所倡 导的： “基础数学的教师应该站在高视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物 才能显得明了而简单． ”
1-q6 1-q3 不满足题意 S6 =4S3 ， 故 q 1． 由 S6 =4S3 得 ， 解得 q3 3 4 S3 =3a1 =3 ， 1-q 1-q 3 或 1（舍去） ，所以 a4 =a1q 3 .
q 1 就意味着 q3 1 ？其实不然．若 q3 1 有 (q 1)(q2 q 1) 0 ，又 q 1 ，
n
)(k 0,1,
, n 1) ，共有 n 个值．如上述高考题，在复
数 集 中 ， 1 的 3 次 方 根 有 3 个 不 同 的 解 ， 即 q3 1 的 解 为 q
1 3i ,1 ． 于 是 2
( q3 1 (q 1) q
1 3i 1 3 i )q ( ) ．所以在复数中，任一个 n 次多项式可因式分 2 2