其中an为f ( x)的首项系数, c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是实数, l1 , , ls ,k1 , , kr是正整数,且pi2 4qi 0, i 1, 2, , r;l1 ls 2(k1 kr ) n ( f ( x)).
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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例 分别在实数域和复数域上对x4 1因式分解. 解 在实数域上,
x4 1 ( x4 2 x2 1) 2 x2 ( x 1)2 ( 2 x)2
( x2 2 x 1)( x2 2 x 1)
的二次多项式.
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2. 实系数多项式因式分解定理 实数域上多项式因式分解定理 每个次数 1
的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 一次因式和二次不可约因式的乘积.其标准分解式 为:
f ( x) an ( x c1 )l1 ( x cs )ls ( x2 p1 x q1 )k1 ( x2 pr x qr )kr
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an1 an
(1
2
n ),
an2 an
12
13
1n
n1 n ,
ans (1)s
an
1 j1 js n
j1
j2
js ,
a0 an
(1)n 12
n .
这组公式也叫韦达公式.
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二、实数域上多项式的根和因式分解
1. 复根成对定理
定理 (复根成对定理) 如果是实系数多项式
f ( x)的一个复根, 那么的共轭数也是 f ( x)的根,并
且与有同一重数.换句话说, 实系数多项式的虚
数根两两成对.
证 令 f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0
由假设
f
( )
an n
a n1 n1
a1 a0 0
Байду номын сангаас
两边取共轭,并注意到an , an1 , , a0是实数,所以有
其中h( x)也是实系数多项式.
若是 f ( x)的重根,则一定是h( x)的根, 根据前
面所证,也是 h( x)的根,这样也是 f ( x)的重根.
重复应用这个推理方法,可知和的重数相同.
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推论1 (1) 实系数多项式的实根个数与它的次 数具有相同的奇偶性,并且奇数次实系数多项式至 少有一实根.
§8 复数域与实数域上多项式 的因式分解
主要内容
复数域上多项式的根和因式分解 实数域上多项式的根和因式分解
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一、复数域上多项式的根和因式分解
1. 代数基本定理及其推论 代数基本定理 每个次数 1的复系数多项式
在复数域中至少有一个根 . 代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数 1的复系数多项式,在复数域上至少 有一个一次因式. 即有
(2) 实数域上次数大于2的多项式必是可约的.
推论2 设 f ( x) R[ x],并且( f ( x)) 1,则 f ( x) 是R上不可约多项式 ( f ( x)) 1,或( f ( x)) 2 且 f ( x)没有实根.
因此,实数域上的不可约多项式只有两类 :
一类是一次多项式; 另一类是其判别式小于零
下面讨论n次多项式根与系数的关系. 令 f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0
是一个n次多项式(n 0, an 0), 那么 f ( x)在复数域
C上有n个根1 ,2 , ,n ,于是有 f ( x) an ( x 1 )( x 2 ) ( x n )
把右端展开, 合并同次项, 然后与 f (x)比较同次项系 数, 得到根与系数的关系:
推论2 每个n次复系数多项式在复数域中恰有 n个根(重根按重数计算).
即:在复数域上C,多项式的根的个数等于多项 式的次数.
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2. 复数域上多项式的因式分解定理 复数域上多项式因式分解定理 每个次数 1的
复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次 因式的乘积,其标准分解式为 :
在复数域上,
x4 1 ( x 1 i )( x 1 i )( x 1 i )( x 1 i )
2
2
2
2
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f ( x) an ( x 1 )l1 ( x 2 )l2 ( x s )ls 其中1 ,2 , ,s是互异的复数, an为f ( x)的首项系数,
l1 , l2 , , ls是正整数,且l1 l2 ls n ( f ( x)). 即: 复数域上多项式的因式分解与求根是一致的.
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f ( x) ( x )( x ) f2 ( x)
[ x2 ( )x ] f2 ( x)
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其中x2 ( )x 是实系数二次不可约多项式.
从而f2 ( x)是n 2次实系数多项式. 由归纳假设,f1 ( x)或f2 ( x)可以分解成实系数的一