2020年高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油！本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页．满分150分, 考试用时120分钟, 考试结束后，将第Ⅱ卷交回．第I 卷注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在第Ⅱ卷上． 2．每小题选出答案后，将所选答案填在第二卷的答题卡处，不能答在第I 卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A + B ) = P ( A ) + P ( B )24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率 k n k kn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U I 则≥-+=≥= （ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2} 2．满足ii z-++=313111的复数z 是 （ ）A ．2+iB ．－2+3iC ．2+2iD ．2－i3．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ,S 5=2，S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20= （ ） A ．8B ．12C ．16D ．244．已知b OB a OA ==, ，C 为线段AB 上距A 较近的于个三等分点，D 为线段CB 上距C较近的一个三等分点，则用a 、b 表示OD 的表达式为 （ ）A ．)54(91+ B ．)79(161+ C ．)2(31+ D ．)3(41+5．已知y=f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x －1，那么不等式f (x )<21的解集是（ ）A{x |0<x <23}B{x |－21<x <0} C{x |－21<x <0或0<x <23} D{x |x <－21或0≤x <23}6．设函数f (x )是偶函数，且对于任意正实数x 满足f (2+x )=－2f (2－x ),已知f (－1)=4,那么f (－3)的值是（ ） A ．2B ．－2C ．8D ．－8 7．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A=AB=2，若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，则棱AD 的长的取值范围是（ ） A ．]2,1[B ．]2,0(C ．)2,0(D ．]1,0(8．已知,1sin ,1sin ,0]2,2[,2a a -=-=<+-∈βαβαππβα若且则实数a 的取值范围 是（ ）A ．（－∞，－2）∪（1，+∞）B ．（－2，1）C ．]2,1(D ．]2,0(9．设实数y x ,满足条件y x y x y x y x y x 22033,02204222+++⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-则的最大值为（ ）A ．23B ．25C ．23D ．510．已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在1±=x 处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且仅有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．若对于任意的],[b a x ∈，函数101|)()()(|)(),(≤-x f x g x f x g x f 满足，则称在[a ，b]上)(x g 可以替代)(x f .若x x f =)(，则下列函数中可以在[4，16]替代)(x f 是（ ）A ．2-xB ．4xC ．56+x D ．62-x12．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）.设白、黑蚂蚁都走完2006段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上）13．设,)1()1()1()32(1010221010-++-+-+=-x a x a x a a x K 则10210a a a a ++++K =14．设P 是双曲线14222=-by x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则点P 到双曲线右准线的距离是 .15．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设★ ……第一行第一行这个数为M 1，M 2、M 3分别表示第二、 ★★ ……第二行三行中的最大数，则满足M 1<M 2<M 3的所有 ★ ★★ ……第三行排列的个数是 .16．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买卡才合算.第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题答题卡：二、填空题答题卡：⒔。

⒕。

⒖。

⒗。

填空题答题卡：13．14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本大题满分12分）设)0,0)(sin ,(cos ),sin )1(,(cos πβαλββαλα<<<>=-=b a 是平面上的两个向量，且b a b a -+与互相垂直 （1）求λ的值；（2）若αβtan ,34tan ,54求==⋅b a 的值.函数f（x）=1-2a cosx-2sin2x的最小值为g（a）（a ∈R）1，求a及此时f（x）（1）求g（a）的表达式；（2）若g（a）=2的最大值（19）（本大题满分12分）如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。

若甲向东、向西行走的概率均为41，向南、向北行走的概率分别为31和p ，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q（1）求p 和q 的值；（2）设至少经过t 分钟，甲、乙两人能首次相遇，试确定t 的值，并求t 分钟时，甲、乙两人得分评卷人相遇的概率.（20）（本大题满分12分）如图，△ABC 中，AC=BC ，AE 和CD 都垂直平面ABC ，且AE=AB=2，F 为BE 的中点，DF//平面ABC. （1）求CD 的长； （2）求证：AF ⊥BD ； （3）求平面ADF 与平面ABC所成的较小的二面角的大小.得分评卷人（21）（本大题满分12分）已知函数)10(22)(22<<--+=x xx x x x f 的反函数)(1x f -.（1）已知数列*),)((,1}{111N n a f a a a n n n ∈==-+满足求数列}{n a 的通项公式；（2）已知数列*),)(()1(,21}{1211N n b f b b b b n n n n ∈⋅+==-+满足求证：对一切n ≥2的正整数2121112211<++++++<nn b na b a b a K（22）（本大题满分14分）已知椭圆14222=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足21PF PF ⋅=1，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点， （1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值.得分评卷人参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13．1 14．13131415．240 16．神州行 三、解答题： 17．解：（1）)4(,2),(020sin sin )1(,sin sin )1(sin cos sin )1(cos ||||)()(2222222222222分垂直与时即当舍或K K K K K K K K K K K Θ-+====--∴--=---+=-=-⋅+λλλααλααλββαλα（2）当b a b a -+与垂直时，)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+=⋅b aπβαβα<<<=-∴0,54)cos(Θ，则02<-<-βαπ247tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 43)tan(,53)sin(=--+-=+-=∴-=--=-∴ββαββαββααβαβα18．解：（1）f （x ）=1-2a cosx-2sin 2x=2 cos 2x-2a cosx -2a-1设h （t ）=2t 2-2a t -2a-1=2（t-2a ）2 -22a -2a-1，t= cosx ∈[]1,1-。

①当2a<-1时，即a<-2时，g （a ）=h （t ）min = h （-1）=1。

②当-1≤2a ≤1时，即-2≤a ≤2时，g （a ）=h （t ）min = h （2a ）=-22a -2a-1。

③当2a>1时，即a>2时，g （a ）=h （t ）min = h （1）=1-4 a 。

（2）当a<-2时，g （a ）=1≠21；当a>2时，g （a ）=h （t ）min = h （1）=1-4 a=21，得a=81；当-2≤a ≤2时，g （a ）=-22a -2a-1=21，则a= -3（舍）或a= -1。

∴当a= -1时，f （x ）=2 cos 2x+2 cosx +1=2（t-21）2 +21。

当cosx= 1时，f （x ）有最大值为5。

19．解：（1）41,14611314141=∴==∴=+++q q p p ΘΘ……（2分） （2）t=2甲、乙两人可以相遇（如图，在C 、D 、E 三处相遇）……（4分）设在C 、D 、E 三处相遇的概率分别为P C 、P D 、P E ，则：…………（12分） …………（2分）…………（6分）…………（10分）…………（12分）P C =5761)4141()6161(=⨯⨯⨯……………………（6分） P D =961)4141(2)4161(2=⨯⨯⨯……………………（8分） P E =2561)4141()4141(=⨯⨯⨯……………………（10分） P C +P D +P E =230437 即所求的概率为230437………………（12分） 20．方法一：（1）取AB 中点G ，连FG 、CG ，则FG//AE ，又AE 和CD 都垂直平面ABC ，所以AE//CD ，所以FG//CD ，所以F 、G 、C 、D 四点共面.又平面FGCD ∩平面ABC=CG ，DF//平面ABC ，所以DF//CG ，所以四边形FGCD 是平行四边形，所以CD=FG=21AE=1.………………（4分）（2）直角三角形ABE 中，AE=AB ，F 是BE 的中点，所以AF ⊥BE ，又△ABC 中，AC=BC ，G 是AB 中点，所以CG ⊥AB ，又AE 垂直于平面ABC ，所以AE ⊥CG ，又AE ∩AB=A ，所以CG ⊥面ABE.因为DF//CG ，所以DF ⊥面ABE ，AF ⊥BE ，由三垂线定理得AF ⊥BD. ……（8分）（3）设面ADF ∩面ABC=L ，因为DF//平面ABC ，所以DF//L ，又DF ⊥面ABE ，所以L ⊥面ABE ，所以L ⊥AF ，L ⊥AB ，所以∠EAB 即为二面角的平面角.直角三角形ABE 中，易得∠FAB=45°，所以平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角为45° (12)方法二：取AB 的中点G ，∵AB=BC ，∴CG ⊥AB又∵AE ⊥平面ABC ，∴GF ⊥平面ABC 以G为原点，GB 、GC 、GF 所在的直线为x , y, z建立空间直角坐标系，则A （－1，0，0）B （1，0，0），E （－1，0，2）F （0，0，1），设C （0，t ，0）∵DF//平面ABC ，则D （0，t ，1） ∴1||=CD 即CD 的长为1…………………………（4分） （2）AF =（1，0，1），BD =（－1，t ，1）∵AF ·BD =－1+1=0，∴AF ⊥BD （8分）（3）∵AF =（1，0，1），AD =（0，t ，0），设n =(x , y, z)是平面ADF 的一个法向量，∴)1,0,1(,1),,0,(0000-==-=∴⎩⎨⎧==+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n x x x n ty z x n AD n AF 得令即 GF ⊥平面ABC ，则v =（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，设平面ADF 与平面ABC 所成的二面角（锐角）为θ，则,22|121|cos =⋅-==θ所以θ=45° 即：平面ADF 与平面ABC 所成的较小的二面角为45°……………………（12分）21．（1）解：0(1)()(,122)(122>+=∴-=--+=-x x x x f x f xx x x x x x f 的反函数Θ） 111,111,1),(11111=-+=+==+++-+nn n n n n n n n a a a a a a a a f a 即得则Θ ∴数列}1{n a 是以1为首项，公差为1的差数列，a n =n 1………………（4分）（2）证明：n n n n n n b b b b b b )1(1)1(21+=+⋅+=+ 则111111,111)1(11++-=++-=+=n n n n n n n n b b b b b b b b 则………………（6分） )12(212)11()11()11(1111111211)8(1212674324311211111111211,111114321212211212211分分则K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Θ<-=-+-+-=++++++=++++++>=+=+++=+++>+++++++=+++n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b na b a b a b b b na b a b a b b na22．解：（1）由题可得F 1(0, 2), F 2(0, －2), 设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0->0) 则)2,(),2,(001001y x PF y x PF ---=--=),(,1)2(00202021y x P y x PF PF 点Θ=--=⋅∴在曲线上，则21)2(24:24,1420202020202020==----=∴=+y y y y x y x 得从而 则点P 的坐标为（1，2）………………………………（2分）（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k(k>0)则BP 的直线方程为：y －2=k(x －1)222222222222228)1()1(,2242)222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2k k x k x k y y k k x x k k k x k k k k k k x k k k x y x B k x k k x k y x x k y B A B A B A A B B B B +=----=-+=-+-+=+--=-+-=+-=+=--+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-则同理可得则设得由 所以：AB 的斜率2=--=BA B A AB x x y y k 为定值…………………………（8分） （4）设AB 的直线方程：m x y +=22)28(81)8(813||3)214(21||213||22220)4(16)22(04224:1422222222222222=+-≤+-=⋅⋅-=⋅==<<->--=∆=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=∆m m m m m m d AB S m d AB P m m m m mx x y x m x y PAB 则的距离为到得由得当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号∴三角形PAB面积的最大值为2………………………………（14分）。