2015年江苏高考数学模拟试卷（四）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{0,1,2}A =，{2}B x x =<，则A B I = ▲ ． 2．已知复数z 满足(1)1z i -=（其中i 为虚数单位），则=z ▲ ．3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 ▲ ． 4．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任意取两个球，则这两个球颜色不相同的概率为 ▲ ．5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． 6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行． 其中，真命题的序号 ▲ ．7．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos2sin()4απα-的值为 ▲ ． 8．在平行四边形ABCD 中, 1AD =, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点．若1AC BE =u u u r u u u rg , 则AB 的长为 ▲ ．9．已知a ，b ∈R ，若a 2+b 2－ab =2，则ab 的取值范围是 ▲ ．10．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=， 则33a b = ▲ ． 11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点12,F F ，梯形的顶点,A B 在双曲线上且12F A AB F B ==，12//F F AB ，则双曲线的离心率的取值范围是 ▲ ．12．已知a ∈R ，关于x 的一元二次不等式22170x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知函数()21,1,2,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥若关于x 的函()()2221y f x bf x =++有6个不同的零点，则实数b 围是 ▲ ．14．已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=．（1）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的取值范围；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求cos()AB -的值．16．（本小题满分14分）如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,90BAC ∠=︒, 1AB AC AA ==,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点．（1）求证：平面1A BC ⊥平面MAC ； （2）求证：//MN 平面11A ACC ．AMA 1CBB 1C 1N冬训期间，某足球队进行射门训练． 如图，已知这种训练用足球场地的球门框的长AB 为名队员位于垂直于AB 的直线CD 上的点D 处，已知CD为(7米，且BC =（1）若该队员一直沿着射线DC 方向突破，则他跑几米后起脚射门可以使得射门角度(即射门瞬间足球与球框两端点,A B 连线所成角)最大？（2）假设该队员沿任何方向直线突破6米后，总有对方球员来干扰而迫使他射门，则要使此时射门角度最大他该向哪个方向跑？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点A ，C关于y 轴对称，点A ，B 关于原点对称． （1）若椭圆的离心率为2，且A （212），求椭圆的标准方程；（2）设D 为直线BC 与x 轴的交点，E 为椭圆上一点，且AD ，E 三点共线，若直线AB ，BE 的斜率分别为1k ，2k 试问，12k k ⋅请加以说明．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，()()ah x f x x=+．（1）求函数()f x 的解析式； （2）当12a =，1x >时，求证：()2h x x <； （3）若函数()h x 在[1,]e 上的最小值为3，求a 的值；20．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如下图，,AB CD 是圆的两条平行弦，//BE AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1PC ED ==，2PA =． （1）求AC 的长； （2）求证：BE EF =．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线21:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点,A B 的极坐标分别为π3π3,,22,24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线C 的参数方程为4cos (sin x r y r ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求正实数r 的值．D ．选修4—5：不等式选讲设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）2015年苏州承办世乒赛，现有甲、乙等六名志愿者，被随机地分到世乒赛的A、B、C、D四个场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时被分到A场馆的概率；（2）记随机变量X表示这六名志愿者中被分到C场馆的人数，试求X的分布列与数学期望E（X）．23．（本小题满分10分）已知p(p≥2)是给定的某个正整数，数列{a k}满足：a1＝1，(k＋1)a k＋1＝p(k－p)a k，其中k＝1, 2, 3，…，p－1．（1）设p＝4，求a2，a3，a4；（2）求a1＋a2＋a3＋…＋a p．2015年江苏高考数学模拟试卷（四）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．A B I ={0，1} 2．1122z i =+ 3． 808 4．32 5．20 6．②③ 7．148．12 9．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10． 27 11． (()2,1212,3⋃ 12．3033a <≤13． 322b -<<- 14． 252解析：3．由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++；6．解：①缺少条件：两直线相交，因此错误；②即两平面垂直的判定定理，因此正确；③正确；④也可能会是直线在平面内，因此错误．所以答案为②③；8．由题设有()112AB AD AD AB ⎛⎫+•-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，打开即有211022AB AB AD -+•=u u u r u u u r u u u r ，所以12AB =；9．由2222a b ab ab +=+≥得，2ab ≤；又()2230a b ab +=+≥得23ab ≥-．m ∴∈2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 10．设{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，因为对任意的n ，总有314n n n S T +=，所以,p q 均不为1．令1n =，则11a b =，再分别令2,3n =，则有()()225112171p q p p q q ⎧+=+⎪⎨⎪++=++⎩，解得93p q =⎧⎨=⎩，3327a b =；11．设点()00,B x y ，则()0012x ex a =-，所以02ax e =-，因0x a >，所以23e <<；又0x c ≠，故(()2,1212,3e ∈+⋃+；12．二次函数2()217f x x x a =-+的对称轴为174x =，所以3个整数为：3，4，5．所以(3)0(6)0f f ≤⎧⎨>⎩，解得3033a <≤；13．由函数()f x 的图像可得，要使得函数()()2221y f x bf x =++有6个不同的零点，必须保证方程()22210g x x bx =++=在()0,1上有两个不同的根，2012320480b b b ⎧<-<⎪⎪+>⎨⎪->⎪⎩，解得32b -<<14．连接OP ，则2MA =，所以M 的轨迹为圆()2214x y ++=，圆心到直线290x y +-=的距离为=M 到直线290x y +-=的距离的最大值为2． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x∵]2,0[π∈x ，∴]34,3[32πππ∈+x ，1)32sin(23≤+≤-πx ． ∴]231,0[)(+∈x f ．（2）由2323)32sin()(=++=πA A f ，得0)32sin(=+πA ， 又A 为锐角，所以3π=A ，又2=b ，3=c ，所以73cos322942=⨯⨯⨯-+=πa ，7=a ．由B b A a sin sin =，得73sin =B ，又a b <，从而A B <，72cos =B ． 所以，417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A 16．（1）证明：在Rt BAC ∆中，BC =在Rt 1A AC ∆中，1AC =1BC A C ∴=，即1ACB ∆为等腰三角形． 又点M 为1A B 的中点，1A M MC ∴⊥． 又Q 四边形11AA BB 为正方形,M 为1A B 的中点，∴1AM ⊥MA AC MA A ⋂=,AC ⊂平面MAC ,MA ⊂平面MAC1A M ∴⊥平面MAC（2）证明：连接11,,AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11BC 的中点，1//MN AC ∴． 又MN ⊄平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC ,//MN ∴平面11A ACC ．17．解：（1）设,CE x =则7DE x =+．记AEB α∠=，()tan tan 144AEC BEC x x α=∠-∠==+，则当12x =时，tan α有最大值，又因为α是锐角，故此时α最大． 故当他跑)5米后起脚射门可以使得射门角度最大．（2）队员突破6米后在以D 为圆心，6为半径的圆上．问题转化为圆上的动点与点,A B 连线所成的角最大．以AB 为弦作圆M ，当圆M 与圆D 相切时，切点所在位置的射门角度最大（可以利用三角形外角计算公式及圆中圆周角的性质证明这个基本事实）．此时，设圆M 的半径为r ，点M 到AB的距离为a , 则223a r +=；又在RT MND ∆中，MN =7,ND a =+，由勾股定理，联立解得8r =，a =tan MDN ∠=3MDN π∠=．要使此时射门角度最大他该沿偏离CD 靠向球门3π大小的方向跑． 18．解：（1）因为椭圆的离心率c e a ==22222a c b ==．又椭圆经过点A，12），所以22221()221a b +=．联立方程，解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）不妨设点A （1x ，1y ），10x >，10y >，由椭圆的对称性可知点C ，B 的坐标分别为（1x -，1y ），（1x -，1y -），D （1x -，0）．设点E 的坐标为（2x ，2y ），因为点A ，E 都在椭圆22221x y a b +=上，所以有2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，即有22222121220x x y y a b --+=，即2212122121()()y y b x x x x a y y +-=-+-． 又直线AB 的斜率111y k x =，直线BE 的斜率21221y y k x x +=+， 由题意得2121121122121121()()()()()y y y y b x x k k x x x x a y y +-⋅==-+-．因为A ，D ，E 三点共线，所以2121AE y y k x x -=-与111110()2AD y yk x x x -==--相等， 即2112112y y y x x x -=-，所以221211222121()2()()y b x x b k k x a y y a-⋅=-=--为定值．故12k k ⋅为定值222b a-．19．解：（1）f (x )定义域为R 的奇函数 ∴f (0)＝0 ，当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )∴f (x )＝ln ,00=0ln(),0x x x x x >⎧⎪⎨⎪--<⎩，（2）只需证：当x >1时，12ln 0x x x-->． 设ϕ(x )=12ln x x x--，ϕ'(x )=22(1)x x ->0（x >1）∴ϕ(x )在(1,+∞)上单调递增，又ϕ(x )在[1,+∞)上不间断，∴当x >1时，ϕ(x )> ϕ(1)=0 ∴当a =12，x >1时，()h x <2x（3）h (x )＝ln x ＋a x ∴h '(x )＝1x －2a x ＝2x ax-，由h '(x )＝0得x ＝a ①当a ≤1时，f (x )在[1,e ]上单调递增∴h (x )min ＝h (1)＝a ∴a ＝3，不符合a ≤1，舍去 ②当1＜a ＜e 时，f (x )在[1,a ]上单调递减，在[a ,e ]上单调递增∴h (x )min ＝h (a )＝ln a +1=3 ∴a ＝2e ，不符合1＜a ＜e ，舍去 ③当a ≥e 时，f (x )在[1,e ]上单调递减∴h (x )min ＝h (e )＝1＋a e ∴1＋ae＝3，即a ＝2e 综上所述：当a ＝2e 时，h (x )＝f (x )＋ax在[1,e ]上的最小值为3 20．解：（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +-=+，①由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +-=+， ② ①+②得，113()n n n n a b a b +++=-+，所以{}n n a b +是以6为首项、3-为公比的等比数列． （2）由（1）知，16(3)n n n a b -+=⨯-，③①-②得，112n n n n a b a b ++-=-=-， ④③+④得，116(3)23(3)12n n n a --⨯--==⨯--，代入1144n m n m a m a a m a ++-+=-+，得113(3)13(3)33(3)13(3)3n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+，所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+，整理得，(1)(3)3(3)0m n m +-+⨯-=，所以11(3)n m m -++=-，由m 是不超过100的正整数，可得12(3)101n m -+-≤≤，所以12n m -+=或4，当12n m -+=时，19m +=，此时8m =，则9n =，符合题意；当14n m -+=时，181m +=，此时80m =，则83n =，符合题意． 故使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：解：（1）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA Θ，4=∴PD ，又2,1=∴==CE ED PC Θ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠ΘCBA PAC ∆∆∴∽，ABAC AC PC =∴，22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC ． （2）Θ2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴．B ．选修4—2：矩阵与变换解：设A =NM ，则A 011002100210-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 又点()','P x y 在曲线21:2C y x = 上，∴ 211()22x y -=，即22x y =． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）π3π3,,22,24A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直角坐标为()()0,3,2,2A B -， 所以直线AB 的直角坐标方程为260x y -+=．（2）将参数方程4cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为()2224x y r -+=，表示圆． 若直线AB 和圆C 有且只有一个公共点，则直线AB 和圆C 相切，所以r =D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()()222222222232311232a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++++=++≥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()2239a b c ++≤，也就是3233a b c -≤++≤，所以3233a b c -≤---≤，233927333331a b c a b c ------++=++≥≥=．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“甲、乙两人同时被分到A 场馆”为事件M ，则132343432234464644221()26C A C A P M C C C A A A +==+， 故甲、乙两人同时被分到A 场馆的概率为126． （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3． 221335365322223446464422()15(1)26C C C C A A P X C C C A A A +===+， 2236432234464644229(2)26C C A P X C C C A A A ===+， 33632234464644221(3)13C A P X C C C A A A ===+． 所以X 的分布列为所以E （X ）=1232626132⨯+⨯+⨯=． 23．解：（1）由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －p k ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1， 即a 2a 1＝－4×4－12＝－6，a 2＝－6a 1＝－6；a 3a 2＝－4×4－23＝－83，a 3＝16， a 4a 3＝－4×4－34＝－1，a 4＝－16． （2）由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －p k ＋1，k ＝1, 2, 3，…，p －1，即a 2a 1＝－p ×p －12，a 3a 2＝－p ×p －23，…，a k a k —1＝－p ×p －k －1k， 以上各式相乘得a k a 1＝(－p )k —1×p －1p －2p －3…p －k ＋1k ！， ∴ a k ＝(－p )k －1×p －1p －2p －3…p －k ＋1k ！ ＝(－p )k －1×p －1！k ！p －k ！＝－pk －1p ×p ！k ！p －k ！＝－(－p )k －2×C k p ＝－1p2C k p (－p )k ，k ＝1,2,3，…，p ， ∴ a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p ＝－1p 2[C 1p (－p )1＋C 2p (－p )2＋C 3p (－p )3＋…＋C p p (－p )p ]＝－1p 2[(1－p )p －1]．。