A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题，我们先探究一条弧所对的圆周角
和圆心角之间有的关系.
2020年9月28日
7
如图，观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC， 它们的大小有什么关系?
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
2020年9月28日
2. 指出图中的圆周角.
不是
是
图３
不是
图５
2020年9月28日
5
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对 球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC， ∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
2020年9月28日
6
二、圆周角与圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
它们的共同特征是：它们都对着AC
这三个角是相等的.
理由是：
C
O
E
D 图①
根 据 圆 周 角 定 理 ， ∠ ABC ， ∠ ADC ， ∠ AEC 都 等 于 圆心角∠AOC的一半. 所以这三个角是相等的.
由此你得到什么结论？
2020年9月28日
13
A
C
结论是： 在同圆中，同弧所对的圆周角相等.
B
圆周角
图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？
∠ABC的两边和圆是什么关系？
2020年9月28日
3
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
顶点在圆上， 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.
A
.
O
B
C
2020年9月28日
4
思考题：
1. 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
图１ 不是
图２
不是
图４
B 答：弦BC经过圆心O.因为连接OC、OB，由 ∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° .即B、O、C 三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径.
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角； 2020年9月28日
90° 的圆周角所对的弦是直径.
A
O
C
图② A
O
C
图③
15
六、圆周角的推论定理3
2020年9月28日
17
2.求圆中∠1的度数
D
.O
C
70° 1
C 120°
O.
1 BA
O B
A
BA
C
3.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°.
4.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆 上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_2_5_°.
20它所对的圆心角的一半.
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC =
1 2
∠AOC.
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且
∠BCD=100°，求∠BOD(BC⌒D所对的圆心角)和
∠BAD的大小.
可以推广：圆内接四边形的对角互补.
2020年9月28日
16
七、形成练习
1.判断
（1）等弦对等弧（× ） （2）等弧对等弦（√ ） （3）长度相等的两条弧是等弧（× ） （4）平分弦的直径垂直于弦（× ） （5）顶点在圆上的角叫圆周角（× ） （6）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半（√ ）
∵∠ABD = 2 ∠AOD，
∠CBD = 1 ∠COD，
21
B
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
20你20年能9月2写8日出这个命题吗?
10
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
2020年9月28日
1
A2
B 14
五、圆周角的推论定理2
观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
B
答：直径BC所对的圆周角是直角.因为一条直径
将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是 ∠BOC=180° ，所以 ∠BAC=90° .
观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经过圆心吗？ 为什么？
C ●O B
你能写出这个命题吗?
2020年9月28日
9
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
AD
提示:能否转化为1的情况?
C
过点B作直径B1 D.由1可得:
●O
A
提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∵∠ABD =
1 2
∠AOD，
∠CBD = 1 ∠COD，
21
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
●O B
20你20年能9月2写8日出这个命题吗?
11
综上，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即∠ABC
=
1 2
∠AOC.
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视.
2020年9月28日
12
四、圆周角的推论定理1
A
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？
它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？
为什么？
B
答： ∠ABC， ∠ADC和∠AEC都是圆周角.
5.如图，⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点， ∠ABC=30° ，求AC的长.
解：∵AB为⊙O的直径.
∴∠ACB=90° .
又∵∠ABC=30° ，
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.4 圆周角定理
2020年9月28日
1
一、问题引入
圆心角顶点发生变化时，.我们得到几种情况?
A
A.
A.
.
O
.
O
.
O
B
B C
C
B
C
三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
2020年9月28日
2
在罚点球中(如图)，球员射中球门的难易程度与他 所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
O
E
如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
D
答：成立.因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的 一半，所以这些圆周角也相等.
对于等圆，情况也一样.因此，我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，
结论成立吗？请同学们互相议一议. 答：结论不成立.请看图.