证明题1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。

证明：H /Kerf ≌H .3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。

4、设R = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛o o x o x ∈Z 。

（1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。

（2）证明I 是R 的一个理想。

5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ，o ）构成一个群.6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域⇔I 是由R 的一个素元生成的主理想.7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想.8、设G 是群，H ≤G 。

令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，∀h ∈H ，hx = xh }.证明：（1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ）9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的一个素元.11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明：（1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }.（2）Z [x ]/(3，x )含3个元素.13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |xG , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, bZ,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公因数是一个素数。

ff15、设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c b a c b a ,,0, I =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 0020． (1) 验证R 对矩阵的加法和乘法构成环。

(2) 证明I 是R 的一个理想。

16、设G 是群，令 C ={x |x G, y G , xy =yx },证明C 是G 的正规子群。

17、在整数环Z 中, p , q 是不同的素数,证明 (p)⋂(q)=(pq ), (p ,q )=Z 。

18、若Q 是有理数域,证明(x )是Q [x ]的极大理想。

19、设G =(a )是一无限循环群，证明G 的生成元只有两个。

20、设G 是交换群，证明G 中一切有限阶元素组成的集合T 是G 的一个子群，且T G除单位元之外不含有限阶元素。

21、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈=是质数p p n Z n m n m R .1),(,,证明(R ,+,)是整环（+,是数的加法与乘法）． 22、取定群G 的元u ,在G 中定义新的“o ” ：a o b =1-∀∈证明（Ｇ，o ）是群．23、设A 是实数域R 上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。

证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c b a o o c o o b o o a N 111111,,是A 的一个左理想。

24、证明一个主理想环I 的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。

25、证明循环群的子群也是循环群。

26、证明（3，x ）是Z[x ]的一个极大理想。

27、I 是一个整环，a , b ∈I ,（a ），（b ），是两个主理想，证明（a ）＝（b ）的充要条件是a 与b 相伴。

28、设p 是一个素数，证明2p 阶群G 中一定有一个p 阶子群N 。

29、若G 是一个群,e 是G 的单位元,G 中任何元都是方程e x =2的解，证明G 是一个交换群。

30、若G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,证明G N 也是一个循环群.31、证明环R 的两个理想的交集仍是R 的一个理想。

32、设I 是一个主理想环,a, b ∈I , d 是a 是与b 的一个最大公因子,证明(a , b )=(d )。

33、设G 是一个43阶的有限群,证明G 的子群只有单位元群及G 本身。

34、在整数环Z 中,证明Z ∕(p )是域⇔p 为质数(素数)。

35、在多项式环Z [X ]中,证明(5,X )不是主理想。

36、证明群G 为交换群)(:1G x x x f ∈⇔-α为G 到G 的一个同构映射。

37、设R 是一有单位元的交换环，且R 只有平凡理想，证明R 是域。

38、证明阶是素数的群一定是循环群。

39、证明在高斯整数环Z [i ]={a +bi a ,b ∈Z , i 2=-1}中，3是一个素元。

40、设Z 是整数环, x 是Z 上的未定元, 证明Z [x ]的生成理想。

(3,x )={Z n Z a x a x a a i n ∈≤∈+++0,|310Λ},并且剩余类环Z x x [](,)3={[0]，[1]，[2]}。

41、 证明(5,x)不是Z[x]的主理想。

42、设G 是一个1000阶的交换群，a 是G 的一个100阶元，证明 10Z a G≅><。

43、证明整数环Z 到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。

44、设22F 是有理数域上的二阶方阵环，证明22F 只有零理想和单位理想，但22F 不是一个除环。

45、设G 是群，f ：G →G ，a αa 2,(G a ∈)证明f 是群G 的自同态⇔G 是交换群。

46、设G =｛（a, b ）|a , b ∈|R ,0≠a ｝，在G 上定义“ο”：(a , b )),(),(b ad ac d c +=ο 证明（G ，ο）构成一个群。

47、设G 是有限交换群，f ：G →G,f(g)=g k (∀g ∈G )证明f ∈Aut(G)⇔(k,|G|)=1。

48、设G 是100阶的有限交换群，f: G →G, f(g)=g 49(∀g ∈G),证明f ∈Aut(G)。

49、设A ≤G,B ≤G 如果存在a, b ∈G,使得Aa=Bb ,则A=B 。

50、设G 是交换群，m 是固定的整数，令H =｛a|a ∈G, a m =e ｝，证明H ≤G 。

51、设H ≤G,令C G (H)=｛g|g ∈G,∀h ∈H,gh=hg ｝，证明C G (H)≤G 。

52、设G 是非空有限集合，“ο”是G 的一个二元运算，“ο”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,ο)构成一个群，当G 是无限集时呢？53、设G 是2000阶的交换群，H ≤G,|H|=200，证明：H G 是一个循环群。

54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。

反之，一个循环群G 的生成元只有两个，则G 是否一定同构于Z ？55、设G 是一个循环群，|G|≠3,4,G 的生成元的个数为2，证明G ≅Z 。

56、设G 是有限群，H ≤G, a ∈G,证明存在最小正整数m ,使a m ∈H,且m|a 。

57、设G 是奇阶群，则对任意g ∈G, 存在唯一元x ∈G, 使g=x 2。

58、证明：整数加群Z 与偶数加群2Z 同构。

59、设H ≤G, g 是G 的一个固定元素，gHg -1=｛ghg -1|h ∈H ｝（1）证明: gHg -1≤G 。

（2）证明: H 1-≅gHg 。

60、设G={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈+Q b a a b b a H Q b a b a ,|2,,|2，G 对复数的加法构成群，H 对矩阵的加法也构成群，证明：G ≅H 。

61、设H 是群G 的非空子集, 且H 中元的阶都有限，证明：H ≤G H H ⊆⇔2。

62、设N <G, |G/N|=10, g ∈G, |g|=12, 证明: g 2∈N 。

63、设G 是群，a, b ∈G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, <a>∩<b>=｛e ｝.证明：|ab|=[m, n] ([m, n]是m, n 的最小公倍数)。

64、设σ是一个n 次置换，集合X =｛1, 2, 3, …, n ｝，在X 中，规定关系“~”为k~l Z r ∈∃⇔, 使σr (k)=l.证明：“~”是X 上的一个等价关系。

65、设K =｛(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)｝证明：K ≤S 4。

66、设G 是群，H ≤G, 规定关系“~”a ~b G b a H ab ∈∀∈⇔-,,1 证明：~是G 的一个等价关系，且a 所在的等价类[a ]=Ha 。

67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。

68、设H ≤G, 若H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H <G 。

69、设N <G, [G:N]=2004, 证明：对G x ∈∀, 恒有N x ∈2004。

70、设N <G, [G:N]=4,证明：存在M ≤G,且[G:M ]=2。

71、设H ，N <G, {}3||,2||,,,==∈∈=⋂b a N b H a e N H 证明：|ab |=6。

72、设H ≤G, 证明：H <G ,,G b a ∈∀⇔如果由H ba H ab ∈⇒∈。

73、设k|m, 证明:[]k m Z k Z ≅。

74、群G 的非平凡子群N 称为G 的极小子群，如果不存在子群B 使得{}N B e <<, 证明：整数加群Z 没有极小子群。

75、如果)(G C G是循环群，证明：G 是交换群（其中C(G)是群G 的中心）。

76、证明：6阶交换群是循环群。

举例说明6阶群不一定是循环群。

77、证明：在一个有单位元的环R 中，全体可逆元组成的集合对R 的乘法构成一个群。

78、设R 为环，如果每个元素R a ∈都满足a 2=a ，证明R 为交换环。

79、环R 中元素a 称作幂零的，是指存在正整数m ，使得a m =0，证明：当R 为交换环时，两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。

80、设R 和_R 都是含单位元的环，R R 01≠， f 是R 到_R 的满同态，证明：（1）f(1R )=R 1；（2）如果a 是R 的单位，则f (a )是_R 的单位。

81、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R y x y x A ,|00证明：A 是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。

82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。

83、设R 是一个有单位元1R 的无零因子环，证明：如果ab=1R 则ba=1R84、设R 是交换环，X 是R 的非空子集，令{}X x rx R r r X Ann ∈∀=∈=,0,|)( 证明：Ann(X)是R 的理想。