1.3 时频分布及其性质1.3.1 单分量信号与多分量信号从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。

所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。

一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ϕ=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。

如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。

一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱，图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征则其瞬时频率定义如下：)]([arg 21)(t z dtdt f i π=（1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dtdf g πτ=（1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。

（如图1.2.3所示）。

图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征1.3.2 时－频分布定义Fourier 变换的另一种形式⎰∞∞--=dt e t s f S ft j π2)()(⎰∞∞-=dfe f S t s tf j π2)()(Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j )(2*),()21()21(),(-+-∞∞-∞∞-∞∞--+=⎰⎰⎰（1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。

原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。

这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。

进一步可将（1.3.1）简记为ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞∞-∞∞-⎰⎰=（1.3.2）式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2()2(),(*τττ-+=t z t z t k z 关于时间t 作Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即dt e t z t z v A tv j z πτττ2*)2()2(),(-+=⎰∞∞-（1.3.3）因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类时－频分布又称为广义双线性时－频分布。

两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为：⎰⎰⎰∞∞-∞∞--+-∞∞--+=ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy )(2*),()21()21(),( ⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dvd e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),(（1.3.4）式中du e u y u x v A vu j xy πτττ2*)2()2(),(⎰∞∞--+= （1.3.5）是)(t x 和)(t y 的互模函数。

两个信号之和)()()(2211t z c t z c t z +=的时－频分布定义为：),(),(),(||),(||),(122121,*12,*212221f t P c c f t P c c f t P c f t P c f t P z z z z z z z +++= （1.3.6）1.3.3 核函数及其特性在时－频分布定义中用核函数来表征信号的时－频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时－频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时－频分布。

在（1.3.1）中若取核函数1),(=v τφ，则该定义式就退化为一种重要的时－频分布，即Wigner-Ville 分布。

当核函数),(v τφ不等于1时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对模糊函数),(v A z τ进行滤波。

若核函数),(v τφ是乘积v τ的函数形式，则称),(v τφ为乘积核，通常记为)(v PR τφ。

对（1.3.2）作Fourier 反变换，可得到由给定时－频分布求其核函数的公式：⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-+∞∞-∞∞-+-+==du e u z u z dtdfe f t P v A dtdf e f t P v vuj f tv j z f tv j πτπτπττττφ2*)(2)(2)2()2(),(),(),(),( （1.3.7）结合时－频分布所希望的数学特性（表1.3.2），可以推导出核函数),(v τφ必须满足如下特性：1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足 时间边缘，1),0(=v φ （1.3.8） 频率边缘，1)0,(=t φ （1.3.9）2、能量归一化：为使时－频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足1)0,0(=φ （1.3.10） 3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函数必须满足),(),(*v v --=τφτφ （1.3.11）4、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。

5、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即)(),(v v τφτφ= （1.3.12）6、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支撑性，核函数必须满足弱有限支撑：时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≤=⎰∞∞--ττφ （1.3.13） 时｜，当｜||20),(ωττφτω≤=⎰∞∞--v d e v j （1.3.14）强有限支撑：时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≠=⎰∞∞--ττφ （1.3.15）时｜，当｜||20),(ωττφτω≠=⎰∞∞--v d e v j （1.3.16）7、逆变换：如果对所有的τ和v 值核函数被唯一确定，那么信号能够由时－频分布恢复，如果核在某些区域为零，那么不可能唯一地恢复信号。

8、低通性：为使多分量信号时－频分布的交叉项降低，核函数必须具有很大的峰值，也就是当远离τ轴或v 轴中的其中某一轴时，v τ的乘积要尽可能大，即有01),(>><<v v ττφ，当时 （1.3.17）9、投影凸集：假定),(1v τφ和),(2v τφ是满足一个特定约束的核，构造如下新核：),()1(),(),(21v a v a v τφτφτφ-+=，10<<a （1.3.18）可以证明，所有的),(v τφ构成了一个凸集，它可以自动地挑选核函数，如果存在的话，它将满足所有的约束条件，如果不存在，此方法可以在均方的意义上挑选最好的函数。

（表1.3.2）是作为能量分布的时－频表示应满足的基本数学性质，用核函数对模糊函数加权后，时－频分布也自然会发生一些变化。

因此，如果要求变化了的时－频分布仍能满足所提出的某些基本性质的话，核函数就必须受到某些限制，（表1.3.1）是典型Cohen 类时－频分布的核函数及其要求满足的数学性质，其中),(τψt 是对应于相关域的窗函数，而),(v τφ则是对应于时－频域的核函数，它们间的关系见式（1.3.28）。

表1.3.1 Cohen 类分布的核函数要求及其应满足的数学性质1.3.4 时－频分布的基本性质要求对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时－频分布具有表示信号能量分布的特性。

因此希望时－频分布能够满足下面的性质：1、 时－频分布必须是实的（且希望是非负的）。

2、 时－频分布关于时间t 和频率f 的积分应给出信号的总能量E ，即总能量⎰⎰∞∞-∞∞-=dtdf f t P E ),( （1.3.19）3、满足边缘特性。

如果把某一特定时间的所有频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时功率；如果把某一特定频率的能量分布在全部时间内累加，就应该得到能量谱密度。

因此，在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足：⎰∞∞-=2|)(|),(f Z dt f t P （1.3.20） ⎰∞∞-=2|)(|),(t z df f t P （1.3.21）时－频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率)(t f i 和群延迟)(f g τ，即⎰⎰∞∞-∞∞-=dff t P df f t fP t f i),(),()( （1.3.22）⎰⎰∞∞-∞∞-=dtf t P dt f t tP f g),(),()(τ （1.3.23）5、有限支撑特性。

这是从能量角度对时－频分布提出的一个基本性质。

在信号处理中，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。

如果信号)(t z 只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱)(f Z 也只在某个频率区间取非零值，则称信号)(t z 及其频谱)(f Z 是有限支撑的，同样，如果在)(t z 和)(f Z 的总支撑区以外，信号的时－频分布等于零，就称时－频分布是有限支撑的，通常把这种支撑称为弱有限支撑（如图1.3.1），即当),(21t t t ∉时，若0)(=t s ，则有0),(=ωt P ； 当),(21ωωω∉时，若0)(=ωS ，则有0),(=ωt P 。

而若只要在信号)(t z 和它的频谱)(f Z 等于零的各区域，时－频分布也都等于零，则称这种支撑为强有限支撑，即若0)(=t s ，则有0),(=ωt P ； 若0)(=ωS ，则有0),(=ωt P 。

在上面的特性中，边缘特性和非负特性保证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬时功率和总能量。

边缘特性可以保证信号的总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽等）正确给定。

非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理解释。

非负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的强有限支撑。

为了讨论的方便，表1.3.2给出了时－频分布所希望的数学性质。

但应当指出，并不是所有的时－频分布都满足表中的所有性质，实际中适用的时－频分布并非一定要满足所有的性质，应该根据具体情况进行合理取舍。