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代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
积.
一分为二 y
y
b
x
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一分为四
y
y f x
S ( A)
O
a
x1
x2
x3
b
x
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一分为八
y
y f x
S ( A)
i 1
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给定的 0, 能够找到 0, 使得当
T max Δxi 时, 对任意 i [ xi 1 , xi ] ,
都有
f ( )Δx －S
i 1 i i
n
.
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.
与 S 的差距 就会越来越小.
问题是：
i 1
(1) 如何刻画分割越来 越细？
(2) 如何刻画 f ( i )Δxi 越来越逼近于 S ?
i 1 n
下面依次讨论这两个问题.
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(1) 对于一般的 T : a0 x0 x1
xn b, 不能
用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
f ( )x
i 1 i
b
n
i
J ,
n
则称 f 在 [a , b] 上可积， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分,记作 J a f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
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其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
O
a x1
x3
x81 b
x
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y 一分为 n
y f x
S ( A)
O
a x1
xi 1 xi
i
xn1 b
x
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形
的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
用T x0 , x1 ,
, n，
, xn 或T = Δ0 , , Δ n 来记这个分割.
2. 近似: 把小曲边梯形 Ai 近似看作矩形,即任取
i [ xi 1 , xi ], 在 [ xi 1 , xi ] 上把 f ( x )近似看作常数
f ( i ) .此时 Ai 的面积 Si 约为 f ( i )Δxi , 所以
S ( A) S i f ( i )Δxi .
n n
上述和式 f ( i )Δxi 称为积分和或黎曼和.
i 1
n
i 1
i 1
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3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形，因此黎曼和
f ( )Δx
i 1 i
n
i
与曲边梯形的面积
n
S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f ( i )Δxi
分变量,a, b 分别为积分下限和上限. 由定义, 曲边为 f ( x ) 的曲边梯形的面积为
S f ( x )dx .
a
b
通过类似分析,速度 v( t ) 质点运动的路程为
s v ( t )dt ;
a
b
密度为 ( x ) 线状物体的质量为
m ( x )dx .
a
b
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J R. 定义1 设 f 是定义在 [a , b] 上的函数， 若 0， 0, 对任意分割 T : a0 x0 x1
及任意
xn b ,
, n,
i xi 1 , xi , i 1, 2,
当 T max xi 时,必有
A ( x , y ) | x [a , b] , 0 y f ( x ) .
y
y f x
S ( A)
O
a
b
x
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2. 已知质点运动的速度为 v ( t ) , t [a , b]. 求从时刻 a 到时刻 b,质点运动的路程 s. 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为
区间 [ xi 1 , xi ] 的长度不趋于 0 . 要保证每个区间
[ xi 1 , xi ] 的长度趋于0, 需引入分割 T 的细度(模):
T max Δxi i 1, 2,
n
, n .
则当 T 0 时, 就能保证分割越来越细.
(2) 要刻画 f ( i )Δxi 能无限逼近 S , 需对任意
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊和式的极限:
lim
T
0
f ( ) x ,
i 1 i i
n
这类特殊极限问题导出了定积分的概念.
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三个典型问题
1. 设 y f ( x ) , x [a , b], 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中
A1 , A2 ,, An ,
即在 [a , b] 上找到 n 1 个分点 { x1 , x2 ,
, xn1 },
a x1 x2
a x1 x 2
xn 1 b,
xn1 b
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为方便起见，记 x0 a, xn b，
i [ xi 1 , xi ], Δxi xi xi 1 , i 1, 2,
( x ) , x [a , b] , 求线状物体的质量 m .
显然, 当 f ( x ) c 为常值函数时， S ( A) c(b a );
当 v( t ) v0 为匀速运动时, s v0 (b a ); 当质量为
均匀分布时， 即 x 为常数时, m (b a ).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变” 的情况
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可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题
是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，
来解决这些问题呢？ 如何 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题
合理地归为一类特殊和式的极限.
中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
关于定积分定义，应注意以下几点： 注1 表达式 J lim