数列通项公式的方法总结专题一：求解通项公式（1）观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。
（2） 定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1（3） 公式法：已知nS （即12()n a a a f n +++=）求na ，用作差法：{11,(1),(2)nn n S n a S S n -==-≥。
例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{na }的前n 项和为nS 满足1S ＞1且6nS =(1)(2)n n a a ++ n ∈N *求{na }的通项公式。
解：由11a S ==111(1)(2)6a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n na S S ++=-=1111(1)(2)(1)(2)66n n n n aa a a ++++-++得11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵na ＞0 ∴13n n aa --=从而{na }是首项为2，公差为3的等差数列，故{na }的通项为na =2+3(n-1)=3n-1.小扩展：已知12()n aa a f n =求na ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（3）迭加法：若1()n na a f n +-=求na ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。
例4：已知数列{}na 满足211=a ，nn a an n ++=+211，求na 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a an n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na an111-=-211=a ，nn an1231121-=-+=∴得1111nn a a +=+∴1{}na 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)nn n a =-+--=-∴1na n=-。
（6）构造等比数列法:）（1）递推公式为qpa an n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t an n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
（2）递推公式为nn n q pa a+=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1nn n apa rq +=+,其中p ，q, r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。
一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：qq a q p qa n n n n 111+•=++引入辅助数列{}nb （其中nnnq a b=），得：qb q p bn n 11+=+再应用类型3的方法解决。
（3）递推公式为nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a-=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s ，再应用前面类型3的方法求解。
例7：(2006.重庆.14）在数列{}na 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项na =例8. 已知数列{}na 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求na 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a 令nn na b•=2，则1321+=+n n b b,应用例7解法得：nnb)32(23-=所以nn nn nb a)31(2)21(32-==例9：（06福建理22）已知数列{na }满足1a =1，1n a +=21n a+ (n N *∈)，求数列{na }的通项公式。
（5） 数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明专题一：通项公式的练习1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列{}na 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a =（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D)352.（2010安徽）(5)设数列{}na 的前n 项和2nSn =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）643. (2011年高考四川)数列{}na 的首项为3，{}nb 为等差数列且1(*)nn n ba a n N +=-∈ .若则32b=-，1012b=，则8a =( ） A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）114.(2011年高考全国卷设nS 为等差数列{}na 的前n项和，若11a=，公差2d =，224A n SS +-=，则k = A ）8（B ）7 （C ）6 （D ）5 5.（2009广东卷理）已知等比数列{}na 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a an -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 6.（2009陕西卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为ns ,若6312a s ==,则na = 7. (2011广东卷)等差数列{}na 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k =8.1,13111=+⋅=--a a a an n n则其通项为9（2009宁夏海南卷理）等差数列{na }前n 项和为nS 。
已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______10.重庆卷理）设12a=，121n n aa +=+，21n nn a ba +=-，*n N ∈，则数列{}nb 的通项公式nb =11．等差数列{}na 是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,a a a 成等比数列，255a S=．求数列{}na 的通项公式. 12已知数列{}na 的前n 项和nS 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}na 的通项公式。
13 已知数列{}na 满足112313n n n aa a +=+⨯+=，，求数列{}na 的通项公式。
14 已知数列{}na 满足112(1)53n n n an a a +=+⨯=，，求数列{}na 的通项公式。
15已知数列{}na 满足112356n n n aa a +=+⨯=，，求数列{}na 的通项公式。
16知数列{}na 满足11228(1)8(21)(23)9n n n aa a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。
17已知数列{}na 满足111(14124)116n n n aa a a +=+++=，，求数列{}na 的通项公式。
18已知数列{}na 满足1172223n n n a aa a +-==+，，求数列{}na 的通项公式。
答案及详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵ 34512aa a ++=，∴44a =12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==2.【答案】 A 【解析】887644915aS S =-=-=.【方法技巧】直接根据1(2)nn n aS S n -=-≥即可得出结论. 3.答案：B 解析：由已知知128,28,nn n bn a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==.4【答案】D 【解析】22111(21)(11)k k k k SS a a a k d a k d+++-=+=++-+++-12(21)a k d =++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
5【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=，+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31logn n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.6解析:由6312a s ==可得{}n a 的公差d=2,首项1a =2,故易得na =2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得1061031)1(123442899=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-+•+=•+k d d d k d d8解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n na a a a⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n9解析由1m a -+1m a +-2ma =0得到()()()1212212120,0,22138102m m m m m m m a a a a a S m a m ---+-====-=∴=又。