求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ；2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4. 已知数列}{n a 满足211,211=-=+nn a a a ，求数列{}n a 的通项公式； 5.设数列}{n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，求}{n a 的通项公式6. 已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
7.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =，求数列}{n a 的通项公式8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；9.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；10.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；11. 已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；12.数列已知数列{}n a 满足111,41(1).2n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=（2）累加法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例：1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
4.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式（3）累乘法适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
3.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
（4）待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤： 1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为3、列出关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
2.（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；4.已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯5. 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+6.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a7. 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++8. 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。
递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s9. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。
10.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；11.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a（5）递推公式中既有n S分析：把已知关系通过11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
1.（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．2.（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式4. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1(1)(2)6n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。
（6）根据条件找1+n 与n 项关系例1.已知数列}{n a 中，n n a C a a 1,111-==+，若21,25-==n n a b C ，求数列}{n b 的通项公式2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设nn a b n =，求数列{}n b 的通项公式（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1. 已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
（8）对无穷递推数列消项得到第1+n 与n 项的关系例：1. （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
2.设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=…，a ∈*N ．求数列{}n a 的通项；（8）、迭代法例：1.已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)21nn n n a a ++=，所以1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(323(1)2323(1)21223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--+++-+⋅-⋅⋅-⋅⋅----⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅=======2)(1)(1)123!21n n n n n a-+---⋅⋅=又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=。
（9）、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例： 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。
两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++2、换元法 适用于含根式的递推关系例： 已知数列{}n a 满足111(14116n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =21(1)24n n a b =-。