证：（1）显然 （2）P (x ) inf{ 0 | inf{v 0 |
x x C } inf{v 0 | C} v
x C } P ( x ) （x X , 0） v (3)设P ( x )，P ( y )有穷，则 0, 1 , 2使得
y B( yi ,1 / n) T (C ) y T (C ) \ B( yi ,1 / n)
所以y T (C )，i0使得y B( yi0 ,1 / n), 所以m i0 ( y ) 0, 所以m ( y ) 0
定义I n : T (C ) co( N n ), N n { yi }
1 P ( x ) ，2 P ( y ) , 所以
2 2 因为C为凸集，所以 从而 x y C, 1 2


x
1 2 1
1
x

1 2 2
1 2
C,
y
2
y
C
C
所以P ( x y ) 1P ( x y ) P ( x ) P ( y )
5.2Brouwer与Schauder不动点定理
定理1.5.13( Brouwer)设B是Rn中的闭单位球，又设 ：B B T 是一个连续映射，那么 必有一个不动点x B T
推论1.5.14设C是Rn中的一个紧凸子集， ：C C是连续的， T 则T必有一个在C上的不动点
定理1.5.15( Schauder)设C是B * 空间X中的一个闭凸子集， T：C C连续且T (C )列紧，则T在C上必有一个不动点
x x0 n
若x { x X | P ( x ) }，因为P ( x ) ，所以n，P ( x ) 1 / n x x x 所以 C,又 （n ）且C 是闭的， 1 1 n n x 所以 C , 所以x C
所以 0, N , 当n N时，P ( xn ) m 所以{ x N 1 , x N 2 ,} { x X | P ( x ) m } ( m )C 因为C 是闭的，所以x0 ( m )C，使得P ( x0 ) m 所以P ( x0 ) m，所以P ( x )下半连续
i 1 i 1 n n
定义1.5.5设X 是线性空间，C是X 上含有的凸子集. 在X 上规定一个取值于[0, ]的函数 P ( x ) inf{ 0 | x C }(x X )

与C 对应，称函数P为C的Minkowski泛函。
命题1.5.6设X 是线性空间，C 是X 上含有的凸子集. 若P为C的Minkowski泛函，则P具有下列性质： （1）P ( x ) [0, ], P ( ) 0; （2）P ( x ) P ( x（x X , 0） ) （3）P ( x y ) P ( x ) P ( y )(x , y X )
(4)若C以 为内点，则r , 使得B( , r ) C , 所以x ,
rx C, 2 x
2 x x 所以C是吸收的(x , 0, 使得 C ), 且有P ( x ) , r r 2 P ( x ) P ( y ) max( P ( x y ), P ( y x )) x y (x , y X ) r 所以P ( x )一致连续
度量空间
凸集与不动点
5.1定义与基本性质
基本概念：凸集、凸包、凸组合
命题1.5.2若{ E | }是线性空间X中的一族凸集， 则 E 也是凸集

命题1.5.4设X 是线性空间，A X，那么A的凸包是A中元素 任意凸组合的全体，即 co( A) { i xi | i 1,i 0, xi A, i 1, 2, , n, n N }
( x , y X )
基本概念：吸收、对称、均衡
命题1.5.8为了C是吸收凸集，必须且仅须其Minkowski 泛函 P ( x )是实值函数；为了C是对称凸集，必须P ( x )是实齐次的， 即P (x ) P ( x（ R1） )
命题1.5.10复线性空间X上的任一个均衡吸收凸 C，决定了 集 这个空间上的一个半模
命题1.5.11设X是一个B * 空间，C是一个含有点的闭凸集， 如果P ( x )是C的Minkowski 泛函，那么P ( x )下半连续，且有 C { x X | P ( x ) 1} 此外，如果C还是有界的，那么P ( x )适合P ( x ) 0 x 又若C以为一内点，那么C是吸收的，并且P ( x )还是一致 连续的
推论1.5.12若C是Rn中的一个紧凸子集，则必存在正整数m n, 使得C同胚于Rm中的单位球
证：(1)用E 表示包含C的最小闭线性子流形.设其维数是m ( n). 于是在C 上必有m 1个向量e1 , e2 , em , em 1 , 使得ei em 1 ( i 1, 2, , m )是线性无关的. 1 m 1 (2)令e0 ei .因为e0 C E，所以E e0是一个m维 m 1 i 1 线性子空间.于是y E , 存在唯一的表示y i (ei e0 ) e0 .
所以y co{e1 , e2 , em , em 1 } C
（4）在E e0上，C e0是一个以 为内点的有界闭凸集，它 的Minkowski泛函P ( z )是在E e0上的一个一致连续、正齐次、 次可加泛函，适合P ( z ) 0 z .应用定理1.4.22，c1 , c2 0, 使得c1 z P ( z ) c2 z (z E e0 ). 设B m ( ,1)是E e0中的单位球，若令 z z / P(z) z ( z ) e0 z 0 则：B m ( ,1) C是一个在上同胚
证： 0, 欲证 C { x X | P ( x ) } 1） 若x C , 则 x

C , 所以P ( x ) ，所以x { x X | P ( x ) }
2)记m lim inf P ( x ), 所以{ xn }使得xn x0且 lim P ( xn ) m ,
rn mi ( y ) mi ( y ) I n ( y ) yi i ( y )其中i ( y ) ，所以I n ( y ) yi m( y ) i 1 i 1 m ( y ) In T 所以I n 连续，C T (C ) co( N n ) co(T (C )) C rn
令Tn I n T , 则Tn：C co( N n ), Tn |co( N n ) : co( N n ) co( N n ) 由推论1.5.14xn co( N n ), 使得Tn xn xn , 即xn为Tn的不动点，
因为Tn I n T , 所以I n T ( xn ) xn 因为T ( xn ) T (C )且T (C )列紧，所以T ( xn )有收敛子列{T ( xnk )} 记x* lim Txnk , 则x* C， (因为C闭)
k
xnk x * Tnk xnk x * I nk Txnk Txnk Txnk x * I nTxnk Txnk Txnk x * 1 / n Txnk x * 0( k ) 由T的连续，Txnk Tx* Tx* x *
证：因为T (C )列紧，所以n，存在1 / n网N n { y1 , y2 , , yn }, 使得T (C ) B( yi ,1 / n)( yi T (C ), i 1,2, , rn )
i 1 rn
记E n span{ N n }, 即E n为由N n张成的有穷维线性子空 间
基本概念：紧映射（连续+将有界集映成列紧集）
推论1.5.17设C为B * 空间X中的一个有界闭凸子集 T : C C ， 是紧的，则T在C上必有不动点
rx (3)若C 有界，r使得C B( , r ), x X \ { }, C x x x x x 所以若 , 则 C , 所以若要 C , 则 ' , r r ' r x 所以P ( x ) inf ' , 所以P ( x ) 0 x r 反之，若x ，显然P ( x ) 0，所以P ( x ) 0 x
i 1 m
并在E e0上可引进一个模 z ( i )1/ 2 ( z y e0 , y E )
i 1
m
2
(3)要证：当上式所表示的 z 足够小时， 蕴含y i (ei e0 ) e0所表示的y C .
i 1 m
事实上，因为y i ei (1 j )e0
i 1 j 1 m m 1 1 { i (1 j )}ei (1 j )em 1 m 1 m 1 i 1 j 1 j 1 m
m
m
当 j ( j 1, 2, , m )足够小时，上式右端各项系数都是正的， 并且各项系数的总和
m m 1 1 {i m 1 (1 j )} m 1 (1 j ) 1 i 1 j 1 j 1 m
定义m i : T (C ) R1 , 1 / n y yi m i ( y ) dist( y , T (C ) \ B( yi ,1 / n)) 0 定义m : T (C ) R , m ( y ) m i ( y ) (y T (C ))
1 i 1 rn