边界条件为： x1(0) = x2 (0) = 1 ， x1(3) = x2 (3) = 0 ，
∫ 试求使性能指标 J = 3 1 u2 (t)dt 02 取极小值的最优控制 u* (t) 以及最优轨线 x* (t) 。
解：
由已知条件知：
f
=
⎡⎢⎢⎣
x2 u
⎤⎥⎥⎦
Hamiton 函数： H = L + λT f
x1*
=
−
1 14
t3
+
3 7
t2
x2*
=
−3 14
t2
+
6 7
t
习题 6 已知一阶系统： x(t) = −x(t) + u(t) ， x(0) = 3
（１）试确定最优控制 u* (t) ，使系统在 t f = 2 时转移到 x(2) = 0 ，并使性
能泛函
∫ J = 2 (1+ u2 )dt = min 0
= tf
+1 2
t f u2dt
0
为极小，其中终端时间 t f 未定， x(t f ) = 0 。
解： H = 1 u2 + λu 2
由协态方程得： λ = 0 → λ = C1
……①
由控制方程： u + λ = 0 → u = −C1
……②
由状态方程： x = u = −C1 ⇒ x(t) = −C1t + C2 ……③
代入状态方程：
x
=
−x
−
1 2
C1et
⇒
x(t)
=
C2e−t
−
1 4
C1et
① t f = 2，x(2) = 0
⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪CC22e−−214−C141
=3 C1e2
=
0
解得：
C1
=
12 e4 −1
，
C2
=
3e4 e4 −1
代入②得：
u
*
(t
)
=
−
e4
6 −1
et
②
x(t
f
)
=
2，t
自由
f
⎧⎪C2 ⎪
λ2 是 t 的直线函数。
当
u* (t )
=
−
1 2
λ2
=
1 2
C1t
−
1 2
C2
时（试取）
x2 (t)
=
1 4
C1t
2
−
1 2
C2t
+
C3
x1
(t
)
=
1 12
C1t
3
−
1 4
C2t
2
+
1 4
t
+
C3t
+
C4
由始端条件
→
C3
=
C4
=
1 4
由末端条件
→
1 12
C1t
f
3
−
1 4
C2t
f
2
+
1 2
t
f
+
整理可得： x + 2x − x = 0
64
特征方程： s2 + 2s −1 = 0
s1 = −1+ 2，s2 = −1− 2 于是得： x* (t) = C1es1t + C2es2t
λ*(t)③= −2e2tu①= −2e2t x
λ* (t) = −2e2t (C1s1es1t + C2s2es2t )
x1 x2
= =
1 6
C1t
3
1 2
C1t
2
− −
1 2
C2t
2
+
C2t + C3
C3t
+
C4
⎪⎩u = C1t − C2
65
x(0)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
由
，有： C3 = C4 = 0 ……①
由 x1(1) + x2 (1) = 1，有：
1 6
C1
−
1 2
C2
+
1 2
C1
− C2
=1
2 3
C1
−
C1t 2
−
C2t
+
C3
……④
由状态方程： x1 = x2
得：
x1 (t )
=
1 6
C1t 3
−
1 2
C2t 2
+
C3t
+
C4
……⑤
63
将
x(0)
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
，
x(3)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
代入④，⑤,
联立解得：
C1
=
10 9
，
C2
=
2
，
C3
=
C4
=
1
由③、④、⑤式得：
u*(t) = 10 t − 2 9
x1* (t) x2* (t)
= =
2e−t − −2e−t
1 −
t
+
2
习题 11
设系统状态方程为
x1(t) = x2 (t) ， x1(0) = x10
72
x2 (t) = u(t) ， x2 (0) = x20
∫ 性能指标为 J = 1
2
∞ 0
(4 x12
+
u
2
)dt
试用调节器方法确定最优控制 u* (t) 。
1 4
=0
1 4
C1t
f
2
−
1 2
C2t
f
+
1 4
=
0
另： H (t f ) = 0
联立解得： C1 =
1 9
，C2
= 0，t f
=3
于是， λ2
=
−
1 9
t
⎩⎧⎨λλ22
= =
1时，t < 0 −1时，t = 9
在 t 从 0 → 3 段， λ2 ≤ 1满足条件。
故， u*
=
−
1 2
λ2
=
1 18
3 2
C2
=1
由 λ(1)
=
∂ϕ ∂x
+
∂ψ T ∂x
⋅γ
= 0 ，ψ
=
x1 +
x2
−1
有： λ(1) = ⎡⎣⎢⎢11⎤⎦⎥⎥ γ = 0 ⇒ λ 1(1) = λ 2 (1)
……②
于是： C1 = −C1 + C2
2C1 = C2
… …③
②、③联立，得： C1=-
3 7
、C2
=
-
6 7
于是： u* = − 3 t + 6 77
1 6
C1t 3
−
1 2
C2t 2
+
C3t
+
C4
⎪ ⎪
x2
⎪
=
1 2
C1t 2
− C2t
+
C3
⎪⎩u = C1t − C2
①
由
x(0)
=
⎡2⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⎧C4 = 2 ⎪⎪C3 = 1
x(5)
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
，得：
⎪⎨125 ⎪6
C1
−
25 2
C2
+ 5C3
+ C4
=
0
⎪ ⎪⎩
25 2
C1
− 5C2
x1* (t )
=
5 27
t3
−t2
+
t
+1
x2* (t)
=
5 9
t2
−
2t
+1
习题 4 已知系统状态方程及初始条件为 x = u ， x(0) = 1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
∫ J =
1
(x2
+
u2
)e2t dt
0
解： H = x2e2t + u2e2t + λu
⎧x = u 列方程： ⎪⎨λ = −2xe2t
x* (t )
x0
t
0
1
【分析讨论】对于任意的 x(0) = x0 ，x(1) 自由。
62
有： C2 = x0 ， C1 = 0 ，即： x* (t) = x0
其几何意义： x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1(t) = x2 (t) ， x2 (t) = u(t)
∫ 习题 2 求性能指标： J = 1(x2 +1)dt 0 在边界条件 x(0) = 0 ， x(1) 是自由情况下的极值曲线。
解：
由上题得： x* (t) = C1t + C2
由 x(0) = 0 得： C2 = 0
由
∂L ∂x
t=t f
= 2x(t f ) = 2C1 t=t f
=0
于是： x*(t) = 0
……⑤
有：
tf
=
1 C1
=
1 2
68
当 C1 = − 2 时，代入④
有：
tf
= 1 =− C1
1 2
，不合题意，故有
C1
=
2
习题 8
最优控制 u* = − 2
设系统状态方程及初始条件为
x1(t) = x2 (t) ， x1(0) = 2